11．5导数的综合应用一、明确复习目标了解可导函数的单调性与其导数的关系，会用导数分析函数的单调性，进而求解函数不等式的问题；二．建构知识网络1．函数的单调性与导数的关系，求单调区间的方法（见上一节）；2．利用导数解不等式问题：（高考中的一类新题型）（1）利用导数确定函数的单调性，（2）利用单调性研究不等式。三、双基题目练练手1．已知a>0，函数f（x）=x3－ax在［1，+∞）上是单调增函数，那么a的最大值是A．0B．1C．2D．32．函数f（x）=sin（3x－）在点（,）处的切线方程是（）A．3x+2y+－=0,B．3x－2y+－=0C．3x－2y－－=0,D．3x+2y－－=03．(2022湖北)假设的大小关系（）A．B．C．D．与x的取值有关16/16\n4．（2022江西）对于上可导的任意函数f(x),假设满足(x－1)f′(x)≥0,那么必有（）A．f(0)+f(2)<2f(1)B．f(0)+f(2)≤2f(1)C．f(0)+f(2)≥2f(1)D．f(0)+f(2)>2f(1)5．假设函数y=－x3+bx有三个单调区间，那么b的取值范围是________．6．方程x3－3x+c=0在［0，1］上至多有_______个实数根．简答:1－4．DBDC；5．y′=－4x2+b，假设y′值有正、有负，那么b>0．答案：b>06．设f（x）=x3－3x+c，那么（x）=3x2－3=3（x2－1）．当x∈（0，1）时，（x）<0恒成立．∴f（x）在（0，1）上单调递减．∴f（x）的图象与x轴最多有一个交点．因此方程x3－3x+c=0在［0，1）上至多有一实根．四、经典例题做一做【例1】证明：当x>0时，有证明：设f(x)=x-sinx,于是f(0)=0．∵f/(x)=1-cosx(仅在x=2kπ(k∈Z)处f/(x)=0∴当x>0时，f(x)单调递增，从而有f(x)>f(0)即x-sinx>0,x>sinx(x>0)16/16\n为证不等式，设g(x)=sinx-x+,那么g(0)=0,于是g/(x)>0,∴g(x)在x>0时递增，从而有g(x)>g(0)=0即故当x>0时有提炼方法：证不等式的依据I：（1）假设函数f(x)在x>a可导，且递增，那么f(x)>f(a);（2）假设函数f(x)在x>a可导，且递减，那么f(x)《f(a);16/16\n关键在于构造恰当的函数，一般是左-右，右-左，左÷右等。【例2】已知求证：函数f(x)图像上的点不可能在函数g(x)图像的上方。证明：设F(x)=(2-x)ex-1,(x<2)∵F/(x)=(1-x)ex-1,当x<1时，F/（x）>0,当1<x<2时，F/(x)<0．∴x=1时，F(x)有极大值，也就是最大值。∴F(x)≤F(1)=1,又x<2,∴∴函数f(x)图像上的点不可能在函数g(x)图像的上方。提炼方法：证不等式的依据II：(1)假设函数f(x)在某一范围内有最小值m,那么f(x)≥m．(2)假设函数f(x)在某一范围内有最大值M，那么f(x)≤m．【例3】(2022全国Ⅰ）已知函数（Ⅰ）设a>0，讨论y=f(x)的单调性；（Ⅱ）假设对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1，求a的取值范围解(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞)。对f(x)求导数得f'(x)=e－ax16/16\n(ⅰ)当a=2时,f'(x)=e－2x,f'(x)在(－∞,0),(0,1)和(1,+∞)均大于0,所以f(x)在(－∞,1),(1,+∞)为增函数；(ⅱ)当0<a<2时,f'(x)>0,f(x)在(－∞,1),(1,+∞)为增函数；(ⅲ)当a>2时,0<<1,令f'(x)=0,解得x1=－,x2=当x变化时,f'(x)和f(x)的变化情况如下表：x(-∞,-)(-,)(,1)(1,+∞)f'(x)＋－＋＋f(x)↗↘↗↗f(x)在(－∞,－),(,1),(1,+∞)为增函数,f(x)在(－,)为减函数。(Ⅱ)(ⅰ)当0<a≤2时,由(Ⅰ)知:对任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1(ⅱ)当a>2时,取x0=∈(0,1),那么由(Ⅰ)知f(x0)<f(0)=1(ⅲ)当a≤0时,对任意x∈(0,1),恒有>1且e－ax≥1,得16/16\nf(x)=e－ax≥>1综上当且仅当a∈(－∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1。特别提示：对于求单调区间、极值、最值问题，根据导数的零点把定义区间分开，列出表格，再分析各区间导数的符号，进而确定单调区间、极值最值，清楚直观不易出错。【例4】(2022全国Ⅰ)在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的局部为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值。解:椭圆方程可写为:+=1式中a>b>0,且得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为:x2+=1(x>0,y>0)y=2(0<x<1)y'=－16/16\n设P(x0,y0),因P在C上,有0<x0<1,y0=2,y'|x=x0=－,得切线AB的方程为:y=－(x－x0)+y0设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得x=,y=由=+得M的坐标为(x,y),由x0,y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为:+=1(x>1,y>2)(Ⅱ)||2=x2+y2,y2==4+,∴||2=x2－1++5≥4+5=9且当x2－1=,即x=>1时,上式取等号故||的最小值为3【研讨欣赏】(2022湖北)设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x(x∈R)的一个极值点．（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f(x)的单调区间；（2）设>0，=（）．假设存在使得||<1成立，求的取值范围．16/16\n解：（1）由f′(3)=0得所以令f′(x)=0得由于x=3是f(x)的极值点，故x1≠x2，即a≠-4当时，，故f(x)在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数当a>4时，x1>x2，故f(x)在(－∞,－a－1]上为减函数，在[－a－1,3]上为增函数，在[3,+∞)上为减函数．（2）当a>0时，－a－1<0，故f(x)在[0,3]上为增函数，在[3,4]上为减函数，在[3,+∞)上为减函数因此f(x)在[0,4]上的值域为而在[0,4]上为增函数，所以值域为注意到，故由假设知解得16/16\n故的取值范围是考察知识：函数、不等式和导数的应用知识，考察综合运用数学知识解决问题的能力．五．提炼总结以为师1．利用导数求解不等式问题的核心是利用导数判定函数的单调性，这就转化为一般的函数问题；2．利用导数证明不等式有两种方法：3．导数是研究函数问题的工具，注意它在其它数学问题中的综合与应用。同步练习11．5导数的综合应用【选择题】1某物体作s=2（1－t）2的直线运动，那么t=0．8s时的瞬时速度为()A．4B．－4C－4．8D－0．82．已知函数f（x）=x4－4x3+10x2，那么方程f（x）=0在区间［1，2］上的根有A．3个B．2个C．1个D．0个3．假设f(x)是在（－L，L）内的可导的偶函数，且不恒为0，那么（）（A）必定是（－L，L）内的偶函数（B）必定是（－L，L）内的奇函数（C）必定是（－L，L）内的非奇非偶函数16/16\n（D）可能是（－L，L）内的奇函数，可能是偶函4．已知的值是（）A．B．0C．8D．不存在【填空题】5．曲线y=上的点到直线2x－y+3=0的最短距离为6设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其外表积最小时，底面边长为________简答．提示：1－4．DDBC;2．（x）=4x（x2－3x+5）在［1，2］上，（x）>0，∴f（x）在［1，2］上单调递增．∴f（x）≥f（1）=7．∴f（x）=0在［1，2］上无根．答案：D3．由f(－x)=f(x)，求导得．4．，5．;6．设底面边长为x，那么高为h=，∴S表=3×x+2×x2=+x2∴S′=－+x令S′=0，得x=．答案：【解答题】7．已知x∈R,求证：ex≥x+1．16/16\n证明:设f（x）=ex－x－1,那么f′（x）=ex－1．∴当x=0时，f′（x）=0,f（x）=0．当x＞0时，f′（x）＞0,∴f（x）在（0,+∞）上是增函数．∴f（x）＞f（0）=0．当x＜0时，f′（x）＜0,f（x）在（－∞,0）上是减函数，∴f（x）＞f（0）=0．∴对x∈R都有f（x）≥0．∴ex≥x+1．8．（2022江西）已知函数在与时都取得极值．（1）求、的值及函数f(x)的单调区间;（2）假设对x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围．解:f/(x)=3x2－x－2=(3x－2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表：f/(x)f(x)极大值极小值所以函数f(x)的递增区间为与;16/16\n递减区间为．9．（2022重庆）已知函数f(x)=(x2+bx+c)ex，其中b,c∈R为常数。（Ⅰ）假设b2>4(c-1)，讨论函数f(x)的单调性；（Ⅱ）假设，且，试证：。解（I）求导得f/(x)=[x2+(b+2)x+b+e]ex∵b2>4(c-1)故方程f/(x)=0即x2+(b+2)x+b+e=0有两个实根令f/(x)>0,解得x<x1,或x>x2．又令f/(x)<0,解得x1<x<x2．故当x∈(－∞,x1)时，f(x)是增函数，x∈(x2,+∞)时，f(x)也是函数，当x∈(x1,x2)时，f(x)是减函数。（II）易知∴16/16\n∴由已知条件得解得10．(2022浙江)已知函数f(x)=x+x，数列｜x｜(x＞0)的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f(x)）两点的直线平行（如图）．求证：当n时，(Ⅰ)x（Ⅱ）xmxm+1oyx证明：（I）因为所以曲线在处的切线斜率因为过和两点的直线斜率是所以．16/16\n（II）因为函数当时单调递增，而，所以，即因此又因为令那么因为所以因此故【探索题】已知函数f(x)=f(x)的导函数是对任意两个不相等的正数，证明：当时，证法一：由，得∴16/16\n下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立即证成立∵设，那么令得，列表如下：极小值∴∴对任意两个不相等的正数，恒有证法二：由，得∴∵是两个不相等的正数16/16\n∴设，那么，列表：极小值∴即∴即对任意两个不相等的正数，恒有16/16
