11.3导数概念与运算一、明确复习目标1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;3.熟记根本导数公式；4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法那么;5.了解复合函数的求导法那么.会求某些简单函数的导数.二．建构知识网络1．导数的概念：设函数y=f(x)在x=x0处附近有定义，如果Δx→0时，Δy与Δx的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数y=f(x)在Δx→0处的导数，记作；2．导数的几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点（x0，y0）处的切线的斜率，即斜率为f′(x0).过点P的切线方程为：y-y0=f′(x0)(x-x0).3.导函数、可导：如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，即对于每一个x∈(a,b)，都对应着一个确定的导数f′(x0)，从而构成了一个新的函数f′(x0)12/12\n,称这个函数f′(x0)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数。此时称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导.4．可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导函数y=f(x)在点x0处连续.5.依定义求导数的方法：（1）求函数的改变量（2）求平均变化率（3）取极限，得导数＝6．几种常见函数的导数：(C为常数)；()；；；；；；。7．导数的四那么运算法那么：；；；8．复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，那么复合函数y=f((x))在点x处也有导数，且或=f′(u)′(x).9.求导数的方法:12/12\n(1)求导公式;(2)导数的四那么运算法那么;(3)复合函数的求导公式;(4)导数定义.三、双基题目练练手1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx,2+Δy）,那么为（）A.Δx++2B.Δx－－2C.Δx+2D.2+Δx－2.设f（x）=ax3+3x2+2,假设f′（－1）=4,那么a的值等于（）A.B.C.D.3．(2022湖南)设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，那么f2022(x)＝（）A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx4.(2022湖南)设函数,集合,假设,那么实数的取值范围是()A．B．C．D．5.(2022全国Ⅰ)设函数假设是奇函数，那么__________6．设函数假设该函数在实数集R上可导，那么该函数的最小值是____．12/12\n7.(2022北京)过原点作曲线的切线，那么切点的坐标为，切线的斜率为.8．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，那么数列的前n项和的公式是 简答:1－4.CDCC；5.；6.答案:－.依题意作图易得函数的最小值是f()＝－7.（1，e）e；8.2n+1-2.四、经典例题做一做【例1】求以下函数的导数：（1）y=（2）y=ln（x＋）;（３）y=;解:（1）y′===12/12\n（2）y′=·（x＋）′=（1＋）=（３）y′==◆提炼方法：题（1）是导数的四那么运算法那么；題（2）（3）是复合函数的求导方法.都是导数问题的根底.【例2】（1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；（2）运动曲线方程为，求t=3时的速度分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数 解：（1）， ，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0 因此曲线在（1，1）处的切线方程为y=1 （2） 12/12\n解题点评:切线是导数的“几何形象”,是函数单调性的“几何”解释,要熟练掌握求切线方程的方法.【例3】假设f（x）在R上可导，（1）求f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数的关系；（2）证明：假设f（x）为偶函数，那么f′（x）为奇函数.分析:（1）需求f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数；（2）求f′（x），然后判断其奇偶性.（1）解:设f（－x）=g（x）,那么g′（a）===－=－f′（－a）∴f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数互为相反数.（2）证明:f′（－x）===－=－f′（x）∴f′（x）为奇函数.解题点注:用导数的定义求导数时，要注意Δy中自变量的变化量应与Δx一致.【例4】（2022浙江）已知函数＝x3+x2，数列{xn}（xn>0）的第一项x1＝1，以后各项按如下方式取定：曲线y＝在处的切线与经过（0，0）和（xn，f（xn））两点的直线平行（如图）。求证：当n时：（I）；（II）12/12\n证明：（I）∵∴曲线在处的切线斜率∵过和两点的直线斜率是∴.（II）∵函数当时单调递增，而，∴，即因此又∵令那么∵∴因此故12/12\n考察知识：函数的导数、数列、不等式等根底知识，以及不等式的证明，同时考察逻辑推理能力。五．提炼总结以为师1．了解导数的概念，初步会用定义式解决一些问题；2．会用定义式求导数；3．了解导数的几何意义；会求切线方程；4．掌握常见函数的导数公式，并会正确运用；5．掌握导数的四那么运算法那么及复合函数的求导法那么。同步练习11.3导数概念与运算【选择题】1.设函数f（x）在x=x0处可导,那么（）A与x0,h都有关B仅与x0有关而与h无关C仅与h有关而与x0无关D与x0、h均无关2.已知函数f（x）在x=1处的导数为3,那么f（x）的解析式可能为（）Af（x）=（x－1）2+3（x－1）Bf（x）=2（x－1）Cf（x）=2（x－1）2Df（x）=x－13．(2022湖北)在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（）A．3B．2C．1D．04.(2022安徽)假设曲线的一条切线与直线垂直，那么的方程为（）12/12\nA．B．C．D．【填空题】5.一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为，那么速度为零的时刻是________6．过点（0，－4）与曲线y＝x3＋x－2相切的直线方程是．7.设f（x）在x=1处连续，且f（1）=0,=2,那么f′（1）=_______8.曲线y=2－x2与y=x3－2在交点处的切线夹角是__________（以弧度数作答）简答.提示：1－4.BADA；5.1，2，4秒末；6．y＝4x－4；7.∵f（1）=0,=2,∴f′（1）====28.由消y得：（x－2）（x2+4x+8）=0,∴x=2∵y′=（2－x2）′=－x,∴y′|x=2=－2又y′=（－2）′=x2,∴当x=2时,y′=3∴两曲线在交点处的切线斜率分别为－2、3,||=1∴夹角为【解答题】9．以下函数的导数①②12/12\n③f（x）=e－x（cosx+sinx）分析：利用导数的四那么运算求导数①法一：∴法二：=+②∴③f/(x)=－e－x（cosx+sinx）+e－x（－sinx+cosx）=－2e－xsinx,10．如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程．解：切线与直线平行，斜率为4又切线在点的斜率为∵∴12/12\n或∴切点为（1，-8）或（-1，-12）切线方程为或即或11．(2022福建)已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为．（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间．解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，所以由在M(-1,f(-1))处的切线方程是，知故所求的解析式是（Ⅱ）解得12/12\n当当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数．考察知识：函数的单调性、导数的应用等知识，考察运用数学知识分析问题和解决问题的能力．12.证明：过抛物线y=a（x－x1）·（x－x2）（a≠0，x1<x2）上两点A（x1，0）、B（x2，0）的切线，与x轴所成的锐角相等.解：y′=2ax－a（x1+x2），y′|=a（x1－x2），即kA=a（x1－x2），y′|=a（x2－x1），即kB=a（x2－x1）.设两条切线与x轴所成的锐角为、β，那么tan=|kA|=|a（x1－x2）|，tanβ=|kB|=|a（x2－x1）|，故tan=tanβ.又、β是锐角，那么=β.12/12
