5.5复数一、明确复习目标1.了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义.2.掌握复数代数形式的运算法那么，能进展复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算3.了解从自然数系到复数系的关系及扩大的根本思想二．建构知识网络1．虚数单位i：i2=–1，实数可以与它进展四那么运算，原有的加、乘运算律仍成立；就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－；i具有周期性：4n+1=i,4n+2=-1,4n+3=-i,4n=1（nN）.2．形如：z=a+bi（a,bR）的数叫复数(代数形式),a叫实部，b叫虚部.复数（集C）的分类：NZQRC3.复数相等：设a,b,c,dR，那么a+bi=c+dia=c,b=d；a+bi=0a=b=0；利用复数相等的条件转化为实数问题是解决复数问题的常用方法；11/11\n4.复数的模：.两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小；5．共轭复数：实部相等，虚部互为相反数：a+bi和a–bi（a,bR）；Z的共轭复数用表示,特别地:6．复平面、实轴、虚轴：——复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，,虚轴上的点,除原点外,都表示纯虚数.和向量一样,复数也可用有向线段表示,复数的加减法运算也可按平行四边形法那么或三角形法那么进展.7．掌握复数的和、差、积、商运算法那么：z1±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i；(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i；(a+bi)÷(c+di)=i（即分子分母同乘以分母的共轭复数,再化简）.复数运算满足加、乘的交换律、结合律、分配律.8.由复数相等的定义知:实系数一元二次方程ax2+bx+c=0在当Δ<0时,有一对共轭虚根.三、双基题目练练手11/11\n1.(2022全国Ⅰ)如果复数是实数，那么实数()A.B.C.D.2.(2022浙江)已知=1－ni,其中m,n是实数,i是虚数单位,那么m+ni=()(A)(B)(C)(D)3.在复平面内，假设所对应的点在第二象限，那么实数m的取值范围是（）A．B．C．D．4.(2022山东)已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，那么展开式中常数项是()A.B.C.D.5.（2022安徽）复数等于_________6.(2022上海5)假设复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），那么＝；7.(2022湖北)设x、y为实数，且，那么x+y=________.8.已知z1=x2+，z2=（x2+a）i对于任意xR均有|z1|>|z2|成立，试求实数a的取值范围.11/11\n简答:1-4.BCDD;5.i;6.已知；7.4;8.|z1|>|z2|即(2a-1)x2<1-a2恒成立,得四、经典例题做一做【例1】设复数z=lg（m2－2m－2）＋（m2＋3m＋2）i，试求实数m取何值时，(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z对应的点位于复平面的第二象限解：(1)由lg（m2－2m－2）=０，m2＋3m＋2≠０，得m=3(2)由m2＋3m＋2=０，得m=－1或m=－2(3)由lg（m2－2m－2）＜０，m2＋3m＋2＞０，得－1＜m＜1－或1＋＜m＜3点评：对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样【例2】（2022上海）在复数范围内解方程(i为虚数单位)解.原方程化简为,设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i,∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=±,∴原方程的解是z=-±i.提炼方法：设z=x+yi(x、y∈R),利用复数相等的定义.11/11\n【例3】设a∈R,z=x=yi,(x,y∈R),满足是纯虚数，求x,y应满足的条件解：设=ki(k∈R,k≠0)那么z2─a2=ki(z2+a2)Þz2(1─ki)=a2(1+ki),∴(x2─y2+2xyi)(1─ki)=a2+a2kiÞ,消去参数k即得：x2+y2=a2,◆提炼方法：(1)纯虚数的概念;(2)虚部的概念;(3)化复数问题为实数问题的化归思想(设z=a+bi(a,b∈R));(4)假设两个复数能比较大小，那么它们都是实数(5)实轴,虚轴的概念【例4】(2022春上海)已知复数满足为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程.[解法一]，∴.假设实系数一元二次方程有虚根，那么必有共轭虚根.，所求的一个一元二次方程可以是.[解法二]设，11/11\n得，以下解法同[解法一].【研讨.欣赏】设z∈C，求满足z+∈R且|z－2|=2的复数z.分析：设z=a+bi(a、b∈R)，代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得a、b的两个方程解法一：设z=a+bi，那么z+=a+bi+=a+bi+=a++(b－)i∈R∴b=∴b=0或a2+b2=1当b=0时，z=a，∴|a－2|=2∴a=0或4a=0不合题意舍去，∴z=4当b≠0时，a2+b2=1又∵|z－2|=2，∴(a－2)2+b2=4解得a=，b=，∴z=±i综上，z=4或z=±i解法二：∵z+∈R，∴z+=+∴(z－)－=0，(z－)·=0∴z=或|z|=1，下同解法一11/11\n点评：解法一设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究;解法二利用复数是实数的条件复数问题实数化.这些都是解决复数问题的常用方法五．提炼总结以为师1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进展;2.求解计算时，要充分利用i的性质计算问题;3.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用;4.复数问题实数化是解决复数问题的最根本也是最重要的思想方法.同步练习5.5复数【选择题】1.（2022山东）()A.B.C.D.2.(2022广东)假设，其中a、b∈R，i是虚数单位，那么=A．0B．2C．D．5()3.(2022福建1)设那么复数为实数的充要条件是()A. B. C. D.4.(2022浙江4)．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【填空题】11/11\n5.（2022全国Ⅰ）复数的共轭复数是________6.(2022湖南)复数z＝i＋i2＋i3＋i4+……+i2022=__________7.(2022广东)假设复数满足方程，那么_______8.(2022全国Ⅲ).已知复数z0=3+2i,复数z满足zz0=3z+z0，那么z=9.假设,，且为纯虚数，那么实数a的值为___．10.假设复数（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，那么实数a的值为_____◆练习简答:1-4.DDDB;5.-i;6.0;7.;8.;9.;10.-6.【解答题】11.已知z是复数，z+2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围解：设z=x+yi(x、y∈R)，∴z+2i=x+(y+2)i，由题意得y=－2==(x－2i)(2+i)=(2x+2)+(x－4)i由题意得x=4，∴z=4－2i∵(z+ai)2=(12+4a－a2)+8(a－2)i，根据条件，已知解得2＜a＜6，∴实数a的取值范围是(2，6)11/11\n12.已知复数当求a的取值范围，解：因故a的取值范围是13.已知，且复数的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数的模；解.即14.设复数z=+，问当x为何实数时，z是⑴实数，⑵虚数，⑶纯虚数，⑷z在复平面上对应的点在实轴上方，⑸|z|=111/11\n解：⑴当，即x=a或时z为实数；⑵当，即且时z为虚数；⑶当＝0且，即x=1时z为纯虚数⑷.假设0<a<1，那么0<x<a或x>；假设a>1，那么x>a或0<x<时z对应的点在实轴上方；⑸当＋＝1即x=1时，|z|=1【探索题】设z是虚数，ω=z+是实数，且－1＜ω＜2（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设u=，求证：u为纯虚数；（3）求ω－u2的最小值解（1）：设z=a+bi(a、b∈R，b≠0)，那么ω=a+bi+=(a+)+(b－)i∵ω是实数，b≠0，∴a2+b2=1，即|z|=1∵ω=2a，－1＜ω＜2，∴z的实部的取值范围是(－，1)（2）证明：u====－i∵a∈(－，1)，b≠0，∴u为纯虚数11/11\n（3）解：ω－u2=2a+=2a－1+=2［(a+1)+］－3∵a∈(－，1)，∴a+1＞0∴ω－u2≥2×2－3=1当a+1=，即a=0时，上式取等号∴ω－u2的最小值为111/11
