第八章圆锥曲线知识构造网络8．1椭圆方程及性质一、明确复习目标1．掌握椭圆的定义、标准方程，了解椭圆的参数方程2．掌握椭圆的简单几何性质;掌握a,b,c,e等参数的几何意义及关系．二．建构知识网络1．椭圆的两种定义：(1)平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长的点的轨迹，即点集M={P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；（时为线段，无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。(2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P|，0＜e＜1的常数。（为抛物线；为双曲线）23/23\n2．标准方程：（1）焦点在x轴上，中心在原点：（a＞b＞0）；焦点F1（－c，0），F2（c，0）。其中（一个）（2）焦点在y轴上，中心在原点：（a＞b＞0）；焦点F1（0，－c），F2（0，c）。其中（3）两种标准方程可用统一形式表示：Ax2+By2=1（A＞0，B＞0，A≠B当A＜B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上），这种形式用起来更方便。3．性质：对于椭圆：（a＞b＞0）如下性质必须熟练掌握：①范围;②对称轴,对称中心;③顶点;④焦点;⑤准线方程;⑥离心率;(参见课本)此外还有如下常用性质：⑦焦半径公式：|PF1|==a+ex0，|PF2|==a-ex0；(由第二定义推得)⑧焦准距；准线间距;通径长;⑨最大角23/23\n证:设|PF1|=r1,|PF2|=r2,那么对于椭圆：（a＞b＞0）的性质可类似的给出（请课后完成）。4．椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关,是椭圆本身所固有的,决定椭圆形状的参数,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐标系有关．5．对椭圆方程作三角换元即得椭圆的参数方程：；注意θ不是∠xOP(x,y)．6．有关圆锥曲线弦的中点和斜率问题可利用“点差法”及结论：设椭圆：上弦AB的中点为M(x0,y0),那么斜率kAB=,对椭圆：,那么kAB=．三、双基题目练练手1．（2022全国Ⅱ）已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，那么△ABC的周长是()23/23\nA．B．6C．D．122．(2022广东)假设焦点在轴上的椭圆的离心率为，那么m=（）A．B．C．D．3．(2022山东)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，那么该椭圆的离心离为()A．B．C．D．4．设F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，假设直线MF1恰与圆F2相切，那么该椭圆的离心率e为()A．－1B．2－C．D．5．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，那么这个椭圆方程为__________________．6．(2022四川15)如图把椭圆的长轴AB分成8份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半局部于,,……七个点，F是椭圆的一个焦点，那么____________．23/23\n简答提示：1-4．CBBA；4．易知圆F2的半径为c，（2a－c）2+c2=4c2，（）2+2（）－2=0，=－1．5．+=1或+=1；6．根据椭圆的对称性知，，同理其余两对的和也是，又，∴=35四、经典例题做一做【例1】假设椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程．分析：欲求椭圆方程，需求a、b，为此需要得到关于a、b的两个方程，由OM的斜率为．OA⊥OB，易得a、b的两个方程．解法1：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．∴（a+b）x2－2bx+b－1=0.由x+y=1，ax2+by2=1，∴x0==，y0==1－=．∴M（，）．23/23\n∵kOM=，∴b=a．①∵OA⊥OB，∴·=－1．∴x1x2+y1y2=0．∵x1x2=，y1y2=（1－x1）（1－x2），∴y1y2=1－（x1+x2）+x1x2=1－+=．∴+=0．∴a+b=2．②由①②得a=2（－1），b=2（－1）．∴所求方程为2（－1）x2+2（－1）y2=1．法2：(点差法)由ax1+by1=1,ax2+by2=1相减得,即…下同法1．提炼方法：1．设而不求，即设出A（x1，y1），B（x2，y2），借助韦达定理推出b=a．．再由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,转换出a,b的又一关系式,2．点差法得b=a．…【例2】(2022湖南)已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e．直线,l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设＝λ．23/23\n（Ⅰ）证明：λ＝1－e2；（Ⅱ）假设，△MF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程；（理科无此问）（Ⅲ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形．（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是．所以点M的坐标是（）．由即．证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是所以因为点M在椭圆上，所以即解得23/23\n（Ⅱ）当时，，所以由△MF1F 2 的周长为6，得所以椭圆方程为（Ⅲ）解法一：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即设点F1到l的距离为d，由得所以即当△PF1F 2 为等腰三角形．解法二：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，设点P的坐标是，那么由|PF1|=|F1F2|得两边同时除以4a2，化简得从而于是．即当时，△PF1F2为等腰三角形．23/23\n【例3】(2022春上海)（1）求右焦点坐标是，且经过点的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的方程是．设斜率为的直线，交椭圆于两点，的中点为．证明：当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上；（3）利用（2）所提醒的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心．解：（1）设椭圆的标准方程为，，∴，即椭圆的方程为，∵点（）在椭圆上，∴，解得或（舍），由此得，即椭圆的标准方程为．（2）设直线的方程为，与椭圆的交点()、()，23/23\n那么有，解得，∵，∴，即．那么，∴中点的坐标为．∴线段的中点在过原点的直线上．（3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线，那么直线和的交点即为椭圆中心．MAOA1M1N1D1C1NBDB1C【例4】（2022江西）如图,椭圆的右焦点为,过点的一动直线绕点转动,并且交椭圆于、两点,为线段的中点．(1)求点的轨迹的方程;23/23\n(1)假设在的方程中,令确定的值,使原点距椭圆的右准线最远．此时设与轴交点为,当直线绕点转动到什么位置时,三角形的面积最大?解：如图(1)设椭圆上的点、,又设点坐标为，那么………………②………………①当不垂直轴时，由①—②得当垂直于轴时，点即为点，满足方程（*）．故所求点的轨迹的方程为：．23/23\n(2)因为,椭圆右准线方程是,原点距椭圆的右准线的距离为,时,上式到达最大值,所以当时,原点距椭圆的右准线最远．此时．设椭圆上的点、,△的面积设直线的方程为,代入中,得由韦达定理得令,得,当取等号．因此,当直线绕点转动到垂直轴位置时,三角形的面积最大．特别提醒:注意这种直线方程的设法,适用于“含斜率不存在,而无斜率为零的情况”.23/23\n【研讨．欣赏】（1）已知点P的坐标是(-1,-3)，F是椭圆的右焦点,点Q在椭圆上移动，当取最小值时，求点Q的坐标，并求出其最小值。（2）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，已知点P到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离是的点的坐标。解(1)由椭圆方程可知a=4,b=,那么c=2,,椭圆的右准线方程为x=8过点Q作QQ’于点Q’,过点P作PP’于点P’,那么据椭圆的第二定义知,,易知当P、Q、Q’在同一条线上时，即当Q’与P’点重合时，才能取得最小值，最小值为8-(-1)=9，此时点Q的纵坐标为-3，代入椭圆方程得。因此,当Q点运动到(2,-3)处时,取最小值9．23/23\n(2)设所求的椭圆的直角坐标方程是．由,解得,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d．那么其中,如果,那么当y=-b时,d2取得最大值解得b=与矛盾,故必有当时d2取得最大值，解得b=1,a=2所求椭圆方程为．由可得椭圆上到点P的距离等于的点为,．五．提炼总结以为师1．椭圆定义是解决问题的出发点,一般地，涉及a、b、c的问题先考虑第一定义，涉及e、d及焦半径的问题行急需处理虑第二定义；2．求椭圆方程，常用待定系数法,定义法,首先确定曲线类型和方程的形式，再由题设条件确定参数值，应“特别”掌握；（1）当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；23/23\n（2）两种标准方程中，总有a＞b＞0，c2=a2-b2并且椭圆的焦点总在长轴上；3．要正确理解和灵活运用参数a,b,c,,e的几何意义与相互关系；4．会用方程分析解决交点、弦长和求值问题，能正确使用“点差法”及其结论。同步练习8．1椭圆方程及性质【选择题】1．(2022全国I)椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，那么=（）A．B．C．D．42．(2022全国卷Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，假设△F1PF2为等腰直角三角形，那么椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【填空题】3．点P在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，那么点P的横坐标是____________．4．已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，那么椭圆的离心率为________．5．已知P是椭圆＋＝1（a＞b＞0）上任意一点，P与两焦点连线互相垂直，且P到两准线距离分别为6、12，那么椭圆方程为____________．23/23\n6．(2022重庆)已知是圆为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，那么动点P的轨迹方程为．简答提示：1．C；2．D；3．；4．∵|PF1|=,AB∥PO，ΔOPF1∽ΔABO∴=．b=c．∴e===．5．＋＝1；6．【解答题】7．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆相交于点P和点Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆方程．解：设椭圆方程为mx2+ny2=1（m>0，n>0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），解方程组y=x+1，mx2+ny2=1．消去y，整理得（m+n）x2+2nx+n－1=0．Δ=4n2－4（m+n）（n－1）>0，即m+n－mn>0，OP⊥OQx1x2+y1y2=0，即x1x2+（x1+1）（x2+1）=0，2x1x2+（x1+x2）+1=0，∴－+1=0．∴m+n=2．①由弦长公式得2·=（）2，将m+n=2代入，得m·n=．②23/23\n或解①②得m=，m=，n=n=．∴椭圆方程为+y2=1或x2+=1．8．如以以下图，设E：+=1（a＞b＞0）的焦点为F1与F2，且P∈E，∠F1PF2=2θ．求证：△PF1F2的面积S=b2tanθ．剖析：有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便．如此题，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，那么S=r1r2sin2θ．假设能消去r1r2，问题即获解决．证明：设|PF1|=r1，|PF2|=r2，那么S=r1r2sin2θ，又|F1F2|=2c，由余弦定理有（2c）2=r12+r22－2r1r2cos2θ=（r1+r2）2－2r1r2－2r1r2cos2θ=（2a）2－2r1r2（1+cos2θ），于是2r1r2（1+cos2θ）=4a2－4c2=4b2．所以r1r2=．这样即有S=·sin2θ=b2=b2tanθ．评述：解与△PF1F2（P23/23\n为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF1|+|PF2|=2a来解决．9．如以以下图，已知△OFQ的面积为S，且·=1．（1）假设＜S＜2，求向量与的夹角θ的取值范围；（2）设||=c（c≥2），S=c，假设以O为中心，F为一个焦点的椭圆经过点Q，当||取最小值时，求椭圆的方程．解：（1）由已知，得||||sin（π－θ）=S，||||cosθ=1．∴tanθ=2S．∵＜S＜2，∴1＜tanθ＜4．那么＜θ＜arctan4．（2）以O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），Q（x，y）．=（c，0），那么=（x－c，y）．∵||·y=c，∴y=．又∵·=c（x－c）=1，∴x=c+．那么||==（c≥2）．23/23\n可以证明：当c≥2时，函数t=c+为增函数，∴当c=2时，||min==，此时Q（，）．将Q的坐标代入椭圆方程，解得得+=1，a2=10，a2－b2=4．b2=6．∴椭圆方程为+=1．10．(2022上海)如图，点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，．（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值．解：（1）由已知可得点A（－6，0），F（4，0）设点P的坐标是，由已知得23/23\n那么2x2+9x-18=0,,∴P点的坐标是（2）直线AP的方程是设点M的坐标是（m，0），那么M到直线AP的距离是，于是椭圆上的点到点M的距离d有由于【探索题】(2022湖北)设A、B分别为椭圆（）的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，假设直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内。解(Ⅰ)依题意得解得从而故椭圆方程为23/23\n（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得设M点在椭圆上，①又M点异于顶点A、B，由P、A、M三点共线可得从而∴②将①式代入②式化简得于是为锐角，从而为钝角，故点B在以MN为直径的圆内。解法二：由（Ⅰ）得．设,那么直线AP的方程为,直线BP的方程为．点M、N分别在直线AP、BP上，．从而③联立消去得=023/23\n是方程的两根,,即④又⑤于是由③、④式代入⑤式化简可得N点在椭圆上，且异于顶点A、B，又，从而故为钝角，即点B在以MN为直径的圆内。解法3：由（Ⅰ）得，设那么．又MN的中点Q的坐标为，化简得⑥直线AP的方程为，直线BP的方程为点P在准线上，，即⑦又M点在椭圆上,,即⑧于是将⑦、⑧式代入⑥式化简可得23/23\n从而B在以MN为直径的圆内。23/23
