专题能力训练23 不等式选讲(选修4—5)一、能力突破训练1.设a>0,|x-1|<,|y-2|<,求证:|2x+y-4|<a.2.已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|,x∈R.(1)解不等式f(x)≤5;(2)若不等式t2+3t>f(x)在x∈R上有解,求实数t的取值范围.3.设函数f(x)=x+1a+|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.4.(2022全国Ⅲ,理23)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.7\n5.已知函数f(x)=x-12+x+12,M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.6.设关于x的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集为A.(1)若a=1,求A;(2)若A=R,求a的取值范围.7\n7.已知函数f(x)=|2x-1|+|x-a|,a∈R.(1)当a=3时,解不等式f(x)≤4;(2)若f(x)=|x-1+a|,求x的取值范围.二、思维提升训练8.已知函数f(x)=x,x≥1,1x,0<x<1,g(x)=af(x)-|x-2|,a∈R.(1)当a=0时,若g(x)≤|x-1|+b对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数b的取值范围;(2)当a=1时,求函数y=g(x)的最小值.9.已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.(1)当a=2时,解不等式f(x)≤-;(2)若存在实数a,使得不等式f(x)≥a成立,求实数a的取值范围.7\n10.设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;(2)如果∀x∈R,f(x)≥2,求a的取值范围.7\n专题能力训练23 不等式选讲(选修4—5)一、能力突破训练1.证明因为|x-1|<,|y-2|<,所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤2|x-1|+|y-2|<2×a3+a3=a.2.解(1)原不等式等价于x<-3,-2-2x≤5或-3≤x≤1,4≤5或x>1,2x+2≤5,得-72≤x<-3或-3≤x≤1或1<x≤32,因此不等式的解集为-72,32.(2)∵f(x)=|x-1|+|x+3|≥|x-1-(x+3)|=4,要使t2+3t>f(x)在x∈R上有解,只需t2+3t大于f(x)的最小值,∴t2+3t>[f(x)]min=4⇒t2+3t-4>0⇒t<-4或t>1.3.(1)证明由a>0,有f(x)=x+1a+|x-a|≥x+1a-(x-a)=1a+a≥2.故f(x)≥2.(2)解f(3)=3+1a+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5,得3<a<5+212.当0<a≤3时,f(3)=6-a+1a,由f(3)<5,得1+52<a≤3.综上,a的取值范围是1+52,5+212.4.解(1)f(x)=-3x,x<-12,x+2,-12≤x<1,3x,x≥1.y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立,因此a+b的最小值为5.5.(1)解f(x)=-2x,x≤-12,1,-12<x<12,2x,x≥12.当x≤-12时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;当-12<x<12时,f(x)<2;当x≥12时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(2)证明由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-17\n=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.6.解(1)当x≥12时,2x-1+x+3≥2x+4,解得x≥2.当-3<x<12时,1-2x+x+3≥2x+4,解得-3<x≤0.当x≤-3时,1-2x-x-3≥2x+4,解得x≤-3.综上,原不等式的解集A={x|x≤0或x≥2}.(2)当x≤-2时,|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4成立.当x>-2时,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4,即|2x-a|≥x+1,得x≥a+1或x≤a-13,所以a+1≤-2或a+1≤a-13,得a≤-2.综上,a的取值范围为a≤-2.7.解(1)当a=3时,函数f(x)=|2x-1|+|x-3|=3x-4,x≥3,x+2,12<x<3,4-3x,x≤12,如图,由于直线y=4和函数f(x)的图象交于点(0,4),(2,4),故不等式f(x)≤4的解集为(0,2).(2)由f(x)=|x-1+a|,可得|2x-1|+|x-a|=|x-1+a|.由于|2x-1|+|x-a|≥|(2x-1)-(x-a)|=|x-1+a|,当且仅当(2x-1)(x-a)≤0时取等号,故有(2x-1)(x-a)≤0.当a=12时,可得x=12,故x的取值范围为12;当a>12时,可得12≤x≤a,故x的取值范围为12,a;当a<12时,可得a≤x≤12,故x的取值范围为a,12.二、思维提升训练8.解(1)当a=0时,g(x)=-|x-2|(x>0),g(x)≤|x-1|+b⇔-b≤|x-1|+|x-2|.|x-1|+|x-2|≥|(x-1)-(x-2)|=1,当且仅当1≤x≤2时等号成立.故实数b的取值范围是[-1,+∞).(2)当a=1时,g(x)=1x+x-2,0<x<1,2x-2,1≤x≤2,2,x>2.当0<x<1时,g(x)=1x+x-2>2x·1x-2=0;当x≥1时,g(x)≥0,当且仅当x=1时等号成立;故当x=1时,函数y=g(x)取得最小值0.9.解(1)∵a=2,7\n∴f(x)=|x-3|-|x-2|=1,x≤2,5-2x,2<x<3,-1,x≥3,∴f(x)≤-12等价于x≤2,1≤-12或5-2x≤-12,2<x<3或x≥3,-1≤-12.解得114≤x<3或x≥3,∴不等式的解集为xx≥114.(2)由不等式性质可知f(x)=|x-3|-|x-a|≤|(x-3)-(x-a)|=|a-3|,∴若存在实数x,使得不等式f(x)≥a成立,则|a-3|≥a,解得a≤32.∴实数a的取值范围是-∞,32.10.解(1)当a=-1时,f(x)=|x-1|+|x+1|,f(x)=-2x,x<-1,2,-1≤x≤1,2x,x>1.作出函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图象.由图象可知,不等式f(x)≥3的解集为xx≤-32或x≥32.(2)若a=1,则f(x)=2|x-1|,不满足题设条件;若a<1,则f(x)=-2x+a+1,x≤a,1-a,a<x<1,2x-(a+1),x≥1,f(x)的最小值为1-a;若a>1,则f(x)=-2x+a+1,x≤1,a-1,1<x<a,2x-(a+1),x≥a,f(x)的最小值为a-1.故对于∀x∈R,f(x)≥2的充要条件是|a-1|≥2,a的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).7
