专题能力训练22 坐标系与参数方程(选修4—4)一、能力突破训练1.在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=1+3cost,y=-2+3sint(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线l的方程为2ρsinθ-π4=m(m∈R).(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;(2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.2.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为x=-8+t,y=t2(t为参数),曲线C的参数方程为x=2s2,y=22s(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.3.(2022全国Ⅱ,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cosθ,y=4sinθ(θ为参数),直线l的参数方程为x=1+tcosα,y=2+tsinα(t为参数).(1)求C和l的普通方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.4.已知曲线C:x24+y29=1,直线l:x=2+t,y=2-2t(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.6\n5.(2022全国Ⅲ,理22)在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为x=cosθ,y=sinθ(θ为参数),过点(0,-2)且倾斜角为α的直线l与☉O交于A,B两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.6.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=acost,y=1+asint(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.7.在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-cosθ=0,点M1,π2.以极点O为原点,以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系.斜率为-1的直线l过点M,且与曲线C交于A,B两点.(1)求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;(2)求点M到A,B两点的距离之积.6\n二、思维提升训练8.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=3+12t,y=32t(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=23sinθ.(1)写出☉C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点,当点P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.9.已知直线l的参数方程为x=1+2t,y=2t(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρ=sinθ1-sin2θ.(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程;(2)若点P是曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值,并求出点P的坐标.10.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=3cosα,y=sinα(α为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsinθ+π4=42.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;(2)设P为曲线C1上的动点,求点P到C2上点的距离的最小值,并求此时点P的坐标.6\n专题能力训练22 坐标系与参数方程(选修4—4)一、能力突破训练1.解(1)消去参数t,得到圆C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9.由2ρsinθ-π4=m,得ρsinθ-ρcosθ-m=0.所以直线l的直角坐标方程为x-y+m=0.(2)依题意,圆心C到直线l的距离等于2,即|1-(-2)+m|2=2,解得m=-3±22.2.解直线l的普通方程为x-2y+8=0.因为点P在曲线C上,设P(2s2,22s),从而点P到直线l的距离d=|2s2-42s+8|12+(-2)2=2(s-2)2+45.当s=2时,dmin=455.因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值455.[来源:学#科#网Z#X#X#K]3.解(1)曲线C的普通方程为x24+y216=1.当cosα≠0时,l的普通方程为y=tanα·x+2-tanα,当cosα=0时,l的普通方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的普通方程,整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0,①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由①得t1+t2=-4(2cosα+sinα)1+3cos2α,故2cosα+sinα=0,于是直线l的斜率k=tanα=-2.4.解(1)曲线C的参数方程为x=2cosθ,y=3sinθ(θ为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为d=55|4cosθ+3sinθ-6|,则|PA|=dsin30°=255|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tanα=43.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为2255.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为255.5.解(1)☉O的普通方程为x2+y2=1.当α=π2时,l与☉O交于两点.当α≠π2时,记tanα=k,则l的方程为y=kx-2,l与☉O交于两点当且仅当21+k2<1,解得k<-1或k>1,即α∈π4,π2或α∈π2,3π4.综上,α的取值范围是π4,3π4.(2)l的参数方程为x=tcosα,y=-2+tsinα t为参数,π4<α<3π4 .设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=tA+tB2,且tA,tB满足t2-22tsinα+1=0.于是tA+tB=22sinα,tP=2sinα.又点P的坐标(x,y)满足x=tPcosα,y=-2+tPsinα.所以点P的轨迹的参数方程是x=22sin2α,y=-22-22cos2αα为参数,π4<α<3π4.[来源:学科网ZXXK]6.解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ+1-a2=0.(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组ρ2-2ρsinθ+1-a2=0,ρ=4cosθ.[来源:学科网]6\n若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sinθcosθ+1-a2=0,由已知tanθ=2,可得16cos2θ-8sinθcosθ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,所以a=1.7.解(1)x=ρcosθ,y=ρsinθ,由ρsin2θ-cosθ=0,得ρ2sin2θ=ρcosθ.所以y2=x即为曲线C的直角坐标方程.点M的直角坐标为(0,1),直线l的倾斜角为3π4,故直线l的参数方程为x=tcos3π4,y=1+tsin3π4(t为参数),即x=-22t,y=1+22t(t为参数).(2)把直线l的参数方程x=-22t,y=1+22t(t为参数)代入曲线C的方程得1+22t2=-22t,即t2+32t+2=0,Δ=(32)2-4×2=10>0.设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-32,t1·t2=2.又直线l经过点M,故由t的几何意义得点M到A,B两点的距离之积|MA|·|MB|=|t1||t2|=|t1·t2|=2.二、思维提升训练8.解(1)由ρ=23sinθ,得ρ2=23ρsinθ,从而有x2+y2=23y,所以x2+(y-3)2=3.(2)设P3+12t,32t,又C(0,3),则|PC|=3+12t2+32t-32=t2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,点P的直角坐标为(3,0).9.解(1)由x=1+2t,y=2t,得x-y=1,故直线的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ=1,即2ρcosθcosπ4-sinθsinπ4=1,即2ρcosθ+π4=1.∵ρ=sinθ1-sin2θ,∴ρ=sinθcos2θ,∴ρcos2θ=sinθ,∴(ρcosθ)2=ρsinθ,即曲线C的直角坐标方程为y=x2.(2)设P(x0,y0),y0=x02,则P到直线l的距离d=|x0-y0-1|2=|x0-x02-1|2=-x0-122-342=x0-122+342.∴当x0=12时,dmin=328,此时P12,14.6\n∴当点P的坐标为12,14时,P到直线l的距离最小,最小值为328.10.解(1)由曲线C1:x=3cosα,y=sinα(α为参数),得x3=cosα,y=sinα(α为参数),两式两边平方相加,得x32+y2=1,即曲线C1的普通方程为x23+y2=1.由曲线C2:ρsinθ+π4=42,得22ρ(sinθ+cosθ)=42,即ρsinθ+ρcosθ=8,所以x+y-8=0,即曲线C2的直角坐标方程为x+y-8=0.(2)由(1)知,椭圆C1与直线C2无公共点,椭圆上的点P(3cosα,sinα)到直线x+y-8=0的距离d=|3cosα+sinα-8|2=2sinα+π3-82,所以当sinα+π3=1时,d的最小值为32,此时点P的坐标为32,12.6
