专题26三角形中的范围问题你处理好了吗考纲要求:1.与平面向量结合的三角形问题，常利用平面向量的知识将向量条件或问题化为三角形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解，如在中，由.2.与数列结合的三角形问题，常利用数列的相关知识将条件或问题转化为三角形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解.3.三角形中的取值范围问题或最值问题，常常利用正余弦定理化成纯边问题，利用基本不等式或重要求最值，或者化成纯角问题，利用三角公式化成一个角的三角函数，利用三角函数的图像与性质求最值，要注意角的范围.基础知识回顾:1、正弦定理：，其中为外接圆的半径正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行例如：（1）（2）（恒等式）（3）2、余弦定理：变式：此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值3、三角形面积公式：（1）（为三角形的底，为对应的高）（2）（3）（其中为外接圆半径）4、三角形内角和：，从而可得到：（1）正余弦关系式：18\n（2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的5、两角和差的正余弦公式：6、辅助角公式：，其中应用举例:类型一、与边长有关的范围问题【例1】【湖北省重点高中联考协作体2022年秋季高三期中考试】在△中，内角，，的对边分别是，，，且．（1）求角的大小；（2）点满足，且线段，求的取值范围．【答案】（1）；（2）18\n点睛：（1）在解三角形中，运用正弦、余弦定理可进行边角之间的互化，可达到解三角形的目的；（2）除两个定理之外，还应注意三角形的性质在解三角形中的应用，如“三角形的两边之和大于第三边”，“等边（角）对等角（边）”，“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和”等性质的应用。【例2】【湖北省重点高中联考协作体2022年秋季高三上学期期中考试】18\n在中，内角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）点满足，且线段，求的取值范围.【答案】(1);(2).（2）在中由余弦定理知：，∴∵，∴，即，当且仅当，即，时取等号，所以的最大值为4故的范围是.【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及基本不等式求最值，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18\n类型二、与周长有关的范围问题【例3】【天津市南开中学2022届高三上学期第一次月考】在中，角所对的边分别为，已知.(1)求角的大小；(2)若，且，求边；(3)若，求周长的最大值.【答案】(1);(2);(3).(2)由正弦定理得：，又，得，所以，所以又由余弦定理：所以(3)由余弦定理：所以，当且仅当时等号成立.18\n故，即周长最大值为.点睛:本题考查正余弦定理解决三角形问题以及基本不等式的应用.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.【例4】【江西省赣州市南康区第三中学2022届高三上学期第三次大考】已知，其中，．（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，、、分别是角、、的对边，若，，求的周长的取值范围．【答案】（1）,；（2）.类型三、与面积有关的范围问题【例5】△中，都不是直角，且（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求面积的最大值.【答案】(1);(2).18\n【解析】试题分析:(1)根据余弦定理将等号左边的和化为边,再用余弦定理得,消去,得到,又,即可得出的值；(2)由余弦定理,即,可得,代入面积公式可得面积的最大值.【例6】【辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学2022届高三上学期第一次联考】已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．如图，四边形中，为的内角的对边，且满足．18\n（1）证明：；（2）若，设，，，求四边形面积的最大值．【答案】（1）见解析;（2）.方法、规律归纳:1、三角形中的不等关系18\n（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：其中由利用的是余弦函数单调性，而仅在一个三角形内有效。2、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（2）利用均值不等式求得最值实战演练:1．【山东省莱芜市2022届高三上学期期中考试】已知的内角、、的对边分别为、、，.（1）若，求的值；（2）求的取值范围.【答案】(1)；(2).18\n2．在锐角中，角所对应的边分别为，，.（1）若，求的面积；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）18\n（2）由正弦定理可得：其中，，，为锐角，因为为锐角三角形，则从而，得，，所以所以，从而的取值范围为3．【河北省承德市实验中学2022届高三上学期期中考试】在△ABC中，(1)求∠B的大小；18\n(2)求的取值范围．【答案】（1）；（2）14．在中，角的对边分别为，且.（1）判断的形状并加以证明；（2）当时，求周长的最大值.【答案】(1)详见解析(2)时，最大且最大值为【解析】试题分析：（1）由已知条件求出，∴为直角三角形；（2）当时，周长，时，最大且最大值为。试题解析：（1）∵，即，故，又，即，∴为直角三角形.（2）∵为直角的斜边，当时，.18\n∵，∴，即时，最大且最大值为.点睛：本题主要考查解三角形，有余弦定理、勾股定理等，属于中档题。解答本题的关键是灵活掌握三角函数中的公式。5．在锐角中，分别为角的对边，且.（1）确定角的大小；（2）当时，求周长的最大值.【答案】（1）；（2）.∵是锐角三角形，∴，故，所以周长的最大值是.18\n6．在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.【答案】(1)(2)时，取最大值7．在中，角，，的对边分别为，，，已知.(1)求角的大小；(2)若，求边的取值范围.【答案】(1);(2).18\n8．设的内角为所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）已知，由余弦定理角化边得，再由余弦定理可得角的值；（2）根据与，由正弦定理求得，，结合代入到的周长表达式，利用三角恒等变换化简得到的周长关于角的三角函数，再根据正弦函数的图象与性质，即可求解周长的取值范围.试题解析：（1），由余弦定理，得，，∵18\n.9．在中，内角的对边分别是，且.（1）求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）60°；（2）．【解析】试题分析：（1）哟衹利用正弦定理可得整理得，由此根据余弦定理可求18\n10．【华大新高考联盟2022届11月教学质量测评】已知的三个内角对应的边分别为，且.（1）证明：成等差数列；（2）若的面积为，求的最小值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由正弦定理得，即，由，从而得即可证得；（2）由，解得，由余弦定理可得即可得解.试题解析：（1）因为，18\n所以由正弦定理得，18
