北京科技大学附中2022版高考数学二轮复习冲刺训练提升：计数原理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设，则＝()A．256B．96C．128D．112【答案】D2．我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“健身俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学必须参加且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为()A．72B．108C．180D．216【答案】C3．五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有()A．种B．种C．种D．种【答案】B4．设，则中奇数个数为()A．2B．3C．4D．5【答案】A5．5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为()A．18B．24C．36D．48【答案】C6．75名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法有()A．150种B．180种C．200种D．280种【答案】A7．若，则的值为()A．6B．7C．35D．20【答案】C8．现有4种不同的花供选种，要求在四块里各种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为()A．96B．84C．60D．48【答案】D9．,则的值为()A．2B．0C．D．【答案】C4\n10．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有()A．280种B．240种C．180种D．96种【答案】B11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝λ，b＝λ(λ>0)，A＝45°，则满足此条件的三角形个数是()A．0B．1C．2D．无数个【答案】A12．已知(＋)2n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于()A．4B．3C．6D．7【答案】B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．一份试卷有10个题目，分为两组，每组5题，要求考生选择6题，且每组至多选择4题，则考生有种不同的选答方法．【答案】20014．如图所示的是2022年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”由四个色块构成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)．如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法的种数共有种。【答案】1615．将A、B、C、D四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且A、B两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为____．【答案】3016．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有。【答案】60三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知的展开式中x的系数为19，求的展开式中的系数的最小值．【答案】．由题意，．项的系数为．4\n，根据二次函数知识，当或10时，上式有最小值，也就是当，或，时，项的系数取得最小值，最小值为81．18．已知二项式（n∈N）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是56：3.(1）求的值；（2）求展开式中的常数项【答案】（1）(2）18019．从4名男生,3名女生中选出三名代表,(1)不同的选法共有多少种?(2)至少有一名女生的不同的选法共有多少种?(3)代表中男、女生都要有的不同的选法共有多少种?【答案】（1）即从7名学生中选出三名代表，共有选法种；(2）至少有一名女生的不同选法共有种；(3）男、女生都要有的不同的选法共有种。20．用0，1，2，3，4，5这六个数字：(1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？【答案】（1）符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时有个；第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有种）,十位和百位从余下的数字中选（有种），于是有个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个．由分类加法计数原理知，共有四位偶数：个．(2）符合要求的五位数中5的倍数的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有个；个位数上的数字是5的五位数有个．故满足条件的五位数的个数共有个．(3）符合要求的比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共个；第二类：形如14□□，15□□，共有个；第三类：形如134□，135□，共有个；由分类加法计数原理知，无重复数字且比1325大的四位数共有：个21．（1）在的展开式中，若第项与第项系数相等，且等于多少？4\n(2）的展开式奇数项的二项式系数之和为，则求展开式中二项式系数最大项。【答案】（1）由已知得(2）由已知得，而展开式中二项式系数最大项是。22．已知（），(1）当时，求的值；(2）设，试用数学归纳法证明：当时，。【答案】（1）记，则(2）设，则原展开式变为：，则所以当时，，结论成立假设时成立，即那么时，，结论成立。所以当时，。4
