北京科技大学附中2022版高考数学二轮复习冲刺训练提升：导数及其应用本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题为真命题的是()A．在处存在极限，则在连续B．在处无定义，则在无极限C．在处连续，则在存在极限D．在处连续，则在可导【答案】C2．设函数的图象与轴相交于点P,则曲线在点P的切线方程为()A．B．C．D．【答案】A3．若，则等于()A．－1B．－2C．－D．【答案】C4．给出下列四个结论：①；②命题“的否定是“”；③“若则”的逆命题为真；④集合，则“”是“”成立的充要条件.则其中正确结论的序号为()A．①③B．①②C．②③④D．①②④【答案】B5．若存在过点(1,0)的直线与曲线和都相切,则()A.或B.或C.或D.或 8\n【答案】A6．如图，设是图中边长为的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域．向中随机投一点，则该点落入中的概率为()A．B．C．D．【答案】C7．曲线y＝sinx与直线y＝x所围成的平面图形的面积是()A．B．C．D．【答案】C8．已知二次函数的导数，且的值域为，则的最小值为()A．3B．C．2D．【答案】C9．用边长为6分米的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转，再焊接而成（如图）。设水箱底面边长为分米，则()A．水箱容积最大为立方分米B．水箱容积最大为立方分米C．当在时，水箱容积随增大而增大D．当在时，水箱容积随增大而减小【答案】C10．由直线，及ｘ轴围成平面图形的面积为()8\nA．B．C．D．【答案】C11．由曲线，直线所围成的平面图形的面积为()A．B．C．D．【答案】C12．函数导数是()A．．B．C．D．【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知，则＝【答案】14．若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是.【答案】15．=；【答案】16．如图是一个质点做直线运动的图象，则质点在前内的位移为m【答案】9三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知函数(Ⅰ）求曲线y=f(x)在（1,11）处的切线方程；(Ⅱ）求函数的单调区间。【答案】(Ⅰ)因为，所以切线的斜率为所以切线方程y-1=12(x-1)即12x-y-11=0(Ⅱ)令得所以函数f(x)的单调增区间为（-1,3）8\n令得x<-1或x>3所以函数f(x)的单调减区间为。18．已知函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减;⑴求a的值;⑵是否存在实数b,使得函数g(x)=bx2-1的图象与函数f(x)的图象恰有2个交点,若存在,求出实数b的值;若不存在,试说明理由【答案】⑴∵f(x)在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减,∴f’(1)=0,f’(1)=4x3-12x2+2ax|x=1=2a-8=0,∴a=4;⑵由⑴知f(x)=x4-4x3+4x2-1,由f(x)=g(x)可得x4-4x3+4x2-1=bx2-1即x2(x2-4x+4-b)=0.∵f(x)的图象与g(x)的图象只有两个交点,∴方程x2-4x+4-b=0有两个非零等根或有一根为0,另一个不为0,∴Δ=16-4(4-b)=0,或4–b=0,∴b=0或b=4．19．已知函数(Ⅰ）求的值；(Ⅱ）若曲线过原点的切线与函数的图像有两个交点，试求b的取值范围.【答案】(Ⅰ)，又函数有极大值，得在上递增，在上递减，得(Ⅱ）设切点，则切线斜率所以切线方程为将原点坐标代入得，所以切线方程为由得设则令，得所以在上递增，在上递减所以若有两个解，则8\n得20．已知函数f(x)＝plnx＋(p－1)x2＋1．(I）讨论函数f(x)的单调性；(II）当p＝1时，f(x)≤kx恒成立，求实数k的取值范围；(III）证明：ln(n＋1)<1＋＋＋…＋(n∈N*)．【答案】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2(p－1)x＝．当p>1时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当p≤0时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－1＜p＜0时，令f′(x)＝0，解得x＝，则当x∈时，f′(x)＞0；x∈时，f′(x)＜0．故f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)因为x>0，所以当p＝1时，f(x)≤kx恒成立⇔1＋lnx≤kx⇔k≥，令h(x)＝，则k≥h(x)max，因为h′(x)＝，由h′(x)＝0得x＝1，且当x∈(0,1)时，h′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0．所以h(x)在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减．所以h(x)max＝h(1)＝1，故k≥1．(3)由(2)知当k＝1时，有f(x)≤x，当k>1时，f(x)<x，即lnx<x－1，令x＝，则ln<，所以ln<，ln<，…，ln<，相加得ln＋ln＋…＋ln<1＋＋…＋，而ln＋ln＋…＋ln＝ln＝ln(n＋1)，所以ln(n＋1)<1＋＋＋…＋(n∈N*)21．设函数(为自然对数的底数)，（）．(Ⅰ）证明：；(Ⅱ）当时，比较与的大小，并说明理由；(Ⅲ）证明：（）．【答案】（Ⅰ）设，所以．当时，，当时，，当时，．即函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得唯一极小值，因为，所以对任意实数均有．8\n即，所以．(Ⅱ）当时，．用数学归纳法证明如下：①当时，由（1）知；②假设当（）时，对任意均有，令，，因为对任意的正实数，，由归纳假设知，，即在上为增函数，亦即，因为，所以．从而对任意，有,即对任意，有，这就是说，当时，对任意，也有．由①,②知，当时，都有．(Ⅲ）证明1：先证对任意正整数，．由（Ⅱ）知，当时，对任意正整数，都有．令，得．所以．再证对任意正整数，．要证明上式，只需证明对任意正整数，不等式成立．即要证明对任意正整数，不等式（*）成立．方法1（数学归纳法）：①当时，成立，所以不等式（*）成立．8\n②假设当（）时，不等式（*）成立，即．则．,这说明当时，不等式（*）也成立．由①，②知，对任意正整数，不等式（*）都成立．综上可知，对，不等式成立．方法2（基本不等式法）：因为，，……，，将以上个不等式相乘，得．所以对任意正整数，不等式（*）都成立．综上可知，对，不等式成立．22．已知(1)求函数上的最小值；(2)若对一切恒成立,求实数的取值范围；(3)证明:对一切,都有成立.【答案】（1），当单调递减，当单调递增①，即时，；②，即时，上单调递增，；所以8\n(2），则，[http://wx.jtyjy/]设，则，当单调递减，当单调递增，所以所以；(3）问题等价于证明，由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到，设，则，易知，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立8
