第五章第五节数列的综合应用题组一等差、等比数列的综合问题1.已知a，b，c成等比数列，a，m，b和b，n，c分别成两个等差数列，那么＋等于( )A．4 B．3C．2D．1解析：由题意得b2＝ac,2m＝a＋b,2n＝b＋c，那么＋＝＝＝＝2.答案：C2．数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7，那么有( )A．a3＋a9≤b4＋b10B．a3＋a9≥b4＋b10C．a3＋a9≠b4＋b10D．a3＋a9与b4＋b10的大小不确定解析：∵a3＋a9≥2＝2＝2a6＝2b7＝b4＋b10，当且仅当a3＝a9时，不等式取等号．答案：B3．(文)已知等差数列{an}的前n项和为Sn且满足a2＝3，S6＝36.(1)求数列{an}的通项公式；(2)假设数列{bn}是等比数列且满足b1＋b2＝3，b4＋b5＝24.设数列{an·bn}的前n项和为Tn，求Tn.解：(1)∵数列{an}是等差数列，∴S6＝3(a1＋a6)＝3(a2＋a5)＝36.∵a2＝3，∴a5＝9，∴3d＝a5－a2＝6，∴d＝2，又∵a1＝a2－d＝1，∴an＝2n－1.(2)由等比数列{bn}满足b1＋b2＝3，b4＋b5＝24，得＝q3＝8，∴q＝2，∵b1＋b2＝3，∴b1＋b1q＝3，∴b1＝1，bn＝2n－1，∴an·bn＝(2n－1)·2n－1.7/7\n∴Tn＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－3)·2n－2＋(2n－1)·2n－1，那么2Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，两式相减得(1－2)Tn＝1×1＋2×2＋2×22＋…＋2·2n－2＋2·2n－1－(2n－1)·2n，即－Tn＝1＋2(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n＝1＋2(2n－2)－(2n－1)·2n＝(3－2n)·2n－3，∴Tn＝(2n－3)·2n＋3.(理)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，数列{an＋Sn}是公差为2的等差数列．(1)求a2，a3；(2)证明：数列{an－2}为等比数列；(3)求数列{nan}的前n项和Tn.解：(1)∵数列{an＋Sn}是公差为2的等差数列，∴(an＋1＋Sn＋1)－(an＋Sn)＝2，即an＋1＝.∵a1＝1，∴a2＝，a3＝.(2)证明：由题意得a1－2＝－1，又∵＝＝，∴{an－2}是首项为－1，公比为的等比数列．(3)由(2)得an－2＝－()n－1，∴nan＝2n－n·()n－1，∴Tn＝(2－1)＋(4－2·)＋[6－3·()2]＋…＋[2n－n·()n－1]，＝(2＋4＋6＋…＋2n)－[1＋2·＋3·()2＋…＋n·()n－1]，设An＝1＋2·＋3·()2＋…＋n·()n－1，①∴An＝＋2·()2＋3·()3＋…＋n·()n，②①－②得An＝1＋＋()2＋…＋()n－1－n·()n，∴An＝－n·()n，∴An＝4－(n＋2)·()n－1，7/7\n∴Tn＝＋(n＋2)·()n－1－4＝(n＋2)·()n－1＋n(n＋1)－4.题组二以等差数列为模型的实际问题4.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元(n∈N＋)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了( )A．600天B．800天C．1000天D．1200天解析：由第n天的维修保养费为元(n∈N＋)，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时相应n的值．设一共使用了n天，那么使用n天的平均耗资为＝＋＋4.95，当且仅当＝时，取得最小值，此时n＝800.答案：B5．(2022·邯郸模拟)假设数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，那么称数列{an}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，那么x5＋x16＝________.解析：由题意，假设{an}为调和数列，那么{}为等差数列，所以{}为调和数列，那么可得数列{xn}为等差数列，由等差数列的性质可知，x5＋x16＝x1＋x20＝x2＋x19＝…＝＝20.答案：206．数列{an}中，a1＝6，且an－an－1＝＋n＋1(n∈N*，n≥2)，那么这个数列的通项an＝________.解析：由已知等式得nan＝(n＋1)an－1＋n(n＋1)(n∈N*，n≥2)，那么－7/7\n＝1，所以数列{}是以＝3为首项，1为公差的等差数列，即＝n＋2，那么an＝(n＋1)(n＋2)．n＝1时，此式也成立．答案：(n＋1)(n＋2)题组三以等比数列为模型的实际问题7.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )A．6秒钟B．7秒钟C．8秒钟D．9秒钟解析：设至少需要n秒钟，那么1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，∴≥100，∴n≥7.答案：B8．某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，那么此科研单位共拿出__________万元资金进展奖励．解析：设第10名到第1名得的奖金数分别是a1，a2，…，a10，那么an＝Sn＋1，那么a1＝2，an－an－1＝an，即an＝2an－1，因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以S10＝＝2046.答案：2046题组四数列与函数、不等式等问题的综合应用9．在如以下图的表格中，如果每格填上一个数后，2412yz每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x＋y＋z的值为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：由题知表格中第三列成首项为4，公比为的等比数列，故有x＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，7/7\n，故其公比为，所以y＝5×()3＝，同理z＝6×()4＝，故x＋y＋z＝2.答案：B10．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn＝an－，假设1<Sk<9(k∈N*)，那么k的值为________．解析：∵Sn＝an－，∴S1＝a1－＝a1，a1＝－1.an＝Sn－Sn－1(n>1)，即an＝(an－)－(an－1－)＝an－an－1，整理得：＝－2，∴{an}是首项为－1，公比为－2的等比数列，Sk＝＝，∵1<Sk<9，∴1<<9，即4<(－2)k<28，仅当k＝4时不等式成立．答案：411．(文)在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N)．(1)试判断数列{}是否为等差数列；(2)设{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项为Sn；(3)假设λan＋≥λ，对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．解：(1)∵a1≠0，∴an≠0，∴由已知可得－＝3(n≥2)，故数列{}是等差数列．(2)由(1)的结论可得bn＝1＋(n－1)×3，所以bn＝3n－2，∴Sn＝＝.(3)将an＝＝代入λan＋≥λ并整理得λ(1－)≤3n＋1，∴λ≤，原命题等价于该式对任意n≥2的整数恒成立．设Cn＝，那么Cn＋1－Cn＝>0，故Cn＋1>Cn，∴Cn的最小值为C2＝，7/7\n∴λ的取值范围是(－∞，]．(理)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，)在直线y＝x＋上．数列{bn}满足bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)，b3＝11，且其前9项和为153.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求使不等式Tn＞对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值．解：(1)由已知得＝n＋，∴Sn＝n2＋n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝n＋5；当n＝1时，a1＝S1＝6也符合上式．∴an＝n＋5.由bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)知{bn}是等差数列，由{bn}的前9项和为153，可得＝9b5＝153，得b5＝17，又b3＝11，∴{bn}的公差d＝＝3，b3＝b1＋2d，∴b1＝5，∴bn＝3n＋2.(2)cn＝＝(－)，∴Tn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)．∵n增大，Tn增大，∴{Tn}是递增数列．∴Tn≥T1＝.7/7\nTn＞对一切n∈N*都成立，只要T1＝＞，∴k＜19，那么kmax＝18.7/7
