第二章 函数、导数及其应用, (自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！)(时间120分钟，总分值150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.)1.已知集合A＝{x|x＜3}，B＝{x|2x－1＞1}，那么A∩B＝( )A.{x|x＞1} B.{x|x＜3}C.{x|1＜x＜3}D.∅解析：集合B中不等式2x－1＞1⇒2x－1＞20⇒x＞1，所以A∩B＝{x|1＜x＜3}.答案：C2.函数f(x)＝lnx－的零点所在的区间是( )A.(0,1)B.(1，e)C.(e,3)D.(3，＋∞)解析：代入验证可知，只有B中：f(1)·f(e)＝(ln1－)(lne－)＜0，又∵f′(x)＝＋＝＞0，故在(1，e)上函数f(x)存在零点.答案：B3.设m，n∈R，函数y＝m＋lognx的图象如以下图，那么有( )A.m＜0,0＜n＜1 B.m＞0，n＞1C.m＞0,0＜n＜1 D.m＜0，n＞1解析：由函数图象可知该函数为增函数，所以n＞1，又图象与x轴的交点在(0,1)之间，故该图象是由y＝lognx的图象向上平移得到的，所以m＞0.答案：B4.某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组实验数据：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01现准备用以下四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A.y＝2x－2B.y＝()xC.y＝log2xD.y＝(x2－1)解析：直线是均匀的，应选项A不是；指数函数y＝()x是单调递减的，也不符合要求；对数函数y＝log2x的增长是缓慢的，也不符合要求；将表中数据代入选项D中，根本符合要求.10/10\n答案：D5.(文)已知函数f(x)＝那么函数f(x)的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4解析：当x＜0时，由x(x＋4)＝0⇒x＝－4；当x≥0时，由x(x－4)＝0⇒x＝4或x＝0.答案：C(理)已知f(x)＝那么方程f(x)＝2的实数根的个数是( )A.0B.1C.2D.3解析：令31－x＝2，∴1－x＝log32.∴x＝1－log32.又∵log32<log33＝1，∴x＝1－log32>0.∴这个实根符合题意.令x2＋4x＋3＝2，那么x2＋4x＋1＝0.解得两根x1＝－2－，x2＝－2＋，x1和x2均小于0，符合题意.答案：D6.曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴及直线x＝1所围成的三角形的面积为( )A.B.C.D.解析：由题可知，曲线y＝x3在点(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2，令y＝0，得x＝，画出图形可知，所围成三角形的面积为S＝×(1－)×1＝.答案：B7.函数f(x)＝ln(1－x2)的图象只可能是( )解析：函数f(x)＝ln(1－x2)的定义域为(－1,1)，且f(x)为偶函数，当x∈(0,1)时，函数f(x)＝ln(1－x2)为单调递减函数；当x∈(－1,0)时，函数f(x)为单调递增函数，且函数值都小于零，所以其图象为A.答案：A8.已知<x<，设a＝21－sinx，b＝2cosx，c＝2tanx，那么( )A.a<b<c B.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a10/10\n解析：因为<x<，所以0<cosx<sinx<1<tanx，而sinx＋cosx>1，cosx>1－sinx，故a<b<c.答案：A9.已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如以下图，那么函数y＝f(x)的图象可能是( )解析：由导函数f′(x)的图象可知，f′(x)在x∈(0,2)上恒大于零，在x∈(2，＋∞)上恒小于0，由函数的导数与函数的单调性关系可以知道，函数f(x)在x∈(0,2)上单调递增，在x∈(2，＋∞)上单调递减，结合选项可知选D.答案：D10.已知P(x，y)是函数y＝ex＋x图象上的点，那么点P到直线2x－y－3＝0的最小距离为( )A.B.C.D.解析：将直线2x－y－3＝0平移到与函数y＝ex＋x的图象相切时，切点到直线2x－y－3＝0的距离最短，故关键是求出切点的坐标.由y′＝ex＋1＝2解得x＝0，代入函数y＝ex＋x易得y＝1，点(0,1)到直线2x－y－3＝0的距离为＝.答案：D11.已知f(x)＝是R上的减函数，那么a的取值范围是( )A.(0,1)B.(0，)C.[，)D.[，1)解析：依题意有0<a<1且3a－1＜0，得0<a<，考虑端点x＝1，那么(3a－1)＋4a≥0得a≥.10/10\n答案：C12.定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f()＝0，那么满足f(logx)＜0的x的集合为( )A.(－∞，)∪(2，＋∞)B.(，1)∪(1,2)C.(，1)∪(2，＋∞)D.(0，)∪(2，＋∞)解析：∵函数f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，f()＝0，∴log＞或logx＜－，∴0＜x＜或x＞2.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分.将答案填写在题中的横线上.)13.已知函数f(x)＝那么不等式f(x)＞0的解集为 .解析：当x＞0时，－log2x＞0，即log2x＜0∴0＜x＜1，当x≤0时，1－x2＞0，即x2＜1，∴－1＜x≤0，综上所述：f(x)＞0的解集为(－1,1).答案：(－1,1)14.假设x1、x2为方程2x＝的两个实数解，那么x1＋x2＝ .解析：∵2x＝＝2，∴x＝－1，即x2＋x－1＝0，∴x1＋x2＝－1.答案：－115.(文)已知曲线C：y＝lnx－4x与直线x＝1交于一点P，那么曲线C在点P10/10\n处的切线方程是 .解析：由已知得y′＝－4，所以当x＝1时有y′＝－3，即过点P的切线的斜率k＝－3，又y＝ln1－4＝－4，故切点P(1，－4)，所以点P处的切线方程为y＋4＝－3(x－1)，即3x＋y＋1＝0.答案：3x＋y＋1＝0(理)已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，假设∫f(x)dx＝2f(a)成立，那么a＝ .解析：∫(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝4，所以2(3a2＋2a＋1)＝4，即3a2＋2a－1＝0，解得a＝－1或a＝.答案：－1或16.(文)以下四个命题，是真命题的有 (把你认为是真命题的序号都填上).①假设p：f(x)＝lnx－2＋x在区间(1,2)上有一个零点；q：e0.2＞e0.3，那么p∧q为假命题；②当x＞1时，f(x)＝x2，g(x)＝，h(x)＝x－2的大小关系是h(x)＜g(x)＜f(x)；③假设f′(x0)＝0，那么f(x)在x＝x0处取得极值；④假设不等式2－3x－2x2＞0的解集为P，函数y＝＋的定义域为Q，那么“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件.解析：对于命题①，因为f(1)＝ln1－2＋1＝－1＜0，f(2)＝ln2－2＋2＝ln2＞0且f(x)在(1,2)上为增函数，故f(x)在(1,2)上有一个零点，即命题p为真；因为y＝ex为增函数，所以e0.2＜e0.3，故命题q为假，所以p∧q为假命题；对于命题②，在同一个坐标系内作出三个函数的图象有：由函数图象可知当x＞1时，有h(x)＜g(x)＜f(x)；对于命题③，令f(x)＝x3，那么有f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故该命题错误；对于命题④，由题意得P＝{x|－2＜x＜}，又由10/10\n得Q＝{x|－2≤x≤}，所以P⊂Q，所以x∈P是x∈Q的充分不必要条件.答案：①②④(理)定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝那么方程f(x)＝的所有解之和为 .解析：当x＜0时，函数的解析式是f(x)＝故函数f(x)在x∈R上的图象如以下图，方程f(x)＝共有五个实根，最左边两根之和为－6，最右边两根之和为6，中间的一个根满足log2(1－x)＝，即x＝1－，故所有根的和为1－.答案：1－三、解答题(本大题共6小题，共74分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题总分值12分)(2022·东北师大附中模拟)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝＋2.(1)求函数g(x)的值域；(2)求满足方程f(x)－g(x)＝0的x的值.解：(1)g(x)＝＋2＝()|x|＋2，因为|x|≥0，所以0＜()|x|≤1，即2＜g(x)≤3，故g(x)的值域是(2,3].(2)由f(x)－g(x)＝0得2x－－2＝0，当x≤0时，显然不满足方程，即只有x＞0满足2x－－2＝0，整理得(2x)2－2·2x－1＝0，(2x－1)2＝2，10/10\n故2x＝1±，因为2x＞0，所以2x＝1＋，即x＝log2(1＋).18.(本小题总分值12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5].(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值与最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数.解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，当x＝1时，f(x)取最小值为1，当x＝－5时，f(x)取最大值为37，所以f(x)的最大值是37；最小值是1.(2)由于函数的对称轴是x＝－a，要使函数在区间[－5,5]上是单调函数，必须且只需满足|a|≥5，故所求的a的取值范围是a≤－5或a≥5.19.(本小题总分值12分)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点.假设存在，求出范围，假设不存在，说明理由.解：假设实数a满足条件，那么只需f(－1)·f(3)≤0即可.f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0.所以a≤－或a≥1.检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1.所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0.得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.(2)当f(3)＝0时，a＝－，此时f(x)＝x2－x－.令f(x)＝0，即x2－x－＝0，解之得x＝－或x＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－.综上所述，a＜－或a＞1.20.(本小题总分值12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a，(1)求f(x)的单调区间；(2)假设f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求函数f(x)在该区间上的最小值.解：(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9，令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)；令f′(x)＞0，解得－1＜x＜3，所以函数f(x)的单调递增区间为(－1,3).10/10\n(2)因为f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，所以f(2)＞f(－2).因为在区间(－1,3)上，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1,2)上单调递增.又由于f(x)在(－2，－1)上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2，故f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝－7，即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.21.(本小题总分值12分)已知向量a＝(x2－1，－1)，b＝(x，y)，当|x|＜时，有a⊥b；当|x|≥时，a∥b.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)的单调递减区间；(3)假设对|x|≥，都有f(x)≤m，求实数m的最小值.解：(1)当|x|＜时，由a⊥b，得a·b＝(x2－1)x－y＝0，即y＝x3－x(|x|＜)；当|x|≥时，由a∥b，得y＝(|x|≥).∴f(x)＝(2)当|x|＜时，由y′＝3x2－1＜0，解得－＜x＜，当|x|≥时，y′＝＝＞0，∴函数f(x)的单调递减区间为(－，).(3)对∀x∈(－∞，－]∪[，＋∞)，都有f(x)≤m，即m≥，由(2)知当|x|≥时，y′＝＞0，∴函数f(x)在(－∞，－]和[，＋∞)上都单调递增，f(－)＝＝，f()＝＝－，当x≤－时，y＝＞0，∴0＜f(x)≤f(－)＝，同理可得，当x≥时，有－≤f(x)＜0，10/10\n综上所述，对∀x∈(－∞，－]∪[，＋∞)，f(x)取得最大值，∴实数m的最小值为.22.(本小题总分值14分)(2022·长郡模拟)已知函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中a，b∈R.(1)当a＝－时，讨论函数f(x)的单调性；(2)假设函数f(x)仅在x＝0时处有极值，求a的取值范围；(3)假设对于任意的a∈[－2,2]，不等式f(x)≤1在[－1,1]上恒成立，求b的取值范围.解：(1)f′(x)＝4x3＋3ax2＋4x＝x(4x2＋3ax＋4).当a＝－时，f′(x)＝x(4x2－10x－4)＝2x(2x－1)(x－2).令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝，x2＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)02(2，＋∞)f′(x)－0＋0－0＋f(x)↘极小值↗极大值↘极小值↗所以f(x)在(0，)，(2，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)，(，2)内是减函数.(2)f′(x)＝x(4x3＋3ax＋4)，显然x＝0不是方程4x3＋3ax＋4＝0的根.为使f(x)仅在x＝0处有极值，必须4x2＋3ax＋4≥0，即有Δ＝9a2－64≤0.解此不等式，得－≤a≤.这时，f(0)＝b是唯一极值.因此满足条件的a的取值范围是[－，].(3)由条件a∈[－2,2]，可知Δ＝9a2－64＜0，从而4x2＋3ax＋4＞0恒成立.当x＜0时，f′(x)＜0；当x＞0时，f′(x)＞0.因此函数f(x)在[－1,1]上的最大值是f(1)与f(－1)两者中的较大者.为使对任意的a∈[－2,2]，不等式f(x)≤1在[－1,1]上恒成立，当且仅当10/10\n即在a∈[－2,2]上恒成立.所以b≤－4，因此满足条件的b的取值范围是(－∞，－4].10/10
