第二章第三节的单调性题组一函数单调性的判定1.(2022·福建高考)以下函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是( )A.f(x)＝B.f(x)＝(x－1)2C.f(x)＝exD.f(x)＝ln(x＋1)解析：∵对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数.答案：A2.函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是( )A.b≥0B.b≤0C.b＞0D.b＜0解析：∵函数y＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上为单调函数∴x＝－≤0，即b≥0.答案：A3.讨论函数f(x)＝x＋(a>0)的单调性.解：f(x)＝x＋(a>0)，∵定义域为{x|x∈R，且x≠0}且f(－x)＝－x＋＝－(x＋)＝－f(x).∴f(x)为奇函数，所以先讨论f(x)在(0，＋∞)上的单调性.设x1>x2>0，那么f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)(1－)，∵当0<x2<x1≤时，恒有>1.那么f(x1)－f(x2)<0，故f(x)在(0，]上是减函数.当x1>x2≥时，恒有0<<1，5/5\n那么f(x1)－f(x2)>0，故f(x)在[，＋∞)上是增函数.∵f(x)是奇函数，∴f(x)在(－∞，－]，[，＋∞)上为增函数；f(x)在[－，0)，(0，]上为减函数.题组二函数的单调区间4.如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是( )A.[－3，＋∞)B.(－∞，－3]C.(－∞，5]D.[3，＋∞)解析：f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的对称轴为x＝1－a，∴f(x)在(－∞，1－a]上是减函数，要使f(x)在区间(－∞，4]上是减函数，那么只需1－a≥4，即a≤－3.答案：B5.(2022·黄冈模拟)已知函数f(x)＝(2x2＋x)，那么f(x)的单调递增区间为( )A.(－∞，－)B.(－，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－∞，－)解析：由2x2＋x＞0，得x＞0或x＜－，令h(x)＝2x2＋x，那么h(x)的单调减区间为(－∞，－).又∵x<－，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－).答案：D6.已知函数f(x)＝(a≠1).(1)假设a＞0，那么f(x)的定义域是 ；(2)假设f(x)在区间(0,1]上是减函数，那么实数a的取值范围是 .解析：当a＞0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤，即此时函数f(x)的定义域是(－∞，]；(2)当a－1＞0，即a＞1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，那么需3－a×1≥0，此时1＜a≤3.当a－1＜0，即a＜1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，那么需－a＞0，此时a＜0.5/5\n综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3].答案：(1)(－∞，] (2)(－∞，0)∪(1,3]题组三抽象函数的单调性及最值7.已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f(log3)，c＝f(0.20.6)，那么a，b，c的大小关系是( )A.c<b<aB.b<c<aC.c>a>bD.a<b<c解析：由题意f(x)＝f(|x|).∵log47＝log2>1，|log3|＝log23>1,0<0.20.6<1，∴|log3|>|log47|>|0.20.6|.又∵f(x)在(－∞，0]上是增函数且为偶函数，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数.∴c>a>b.答案：C8.(2022·四川高考)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，那么f()的值是( )A.0B.C.1D.解析：令x＝－，∴－f()＝f(－)＝f()(∵f(－)＝f())，∴f()＝0.令x＝，∴f()＝f()，∴f()＝0.令x＝，∴f()＝f()，∴f()＝0.答案：A9.设奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数，f(－1)＝－1.假设函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，那么当a∈[－1,1]时，t的取值范围是 .解析：假设函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，由已知易得f(x)的最大值是1，∴1≤t2－2at＋1⇔2at－t2≤0，设g(a)＝2at－t2(－1≤a≤1)，欲使2at－t2≤0恒成立，5/5\n那么⇔t≥2或t＝0或t≤－2.答案：t≤－2或t＝0或t≥2题组四函数单调性的综合应用10.已知函数f(x)＝x2－2ax＋a，在区间(－∞，1)上有最小值，那么函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定( )A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数解析：由题意a<1，又函数g(x)＝x＋－2a在[，＋∞)上为增函数，应选D.答案：D11.已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞).(1)当a＝4时，求f(x)的最小值；(2)当a＝时，求f(x)的最小值；(3)假设a为正常数，求f(x)的最小值.解：(1)当a＝4时，f(x)＝x＋＋2，易知，f(x)在[1,2]上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数.∴f(x)min＝f(2)＝6.(2)当a＝时，f(x)＝x＋＋2.易知，f(x)在[1，＋∞)上为增函数.∴f(x)min＝f(1)＝.(3)函数f(x)＝x＋＋2在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数.假设>1，即a>1时，f(x)在区间[1，＋∞)上先减后增，f(x)min＝f()＝2＋2.假设≤1，即0<a≤1时，f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，∴f(x)min＝f(1)＝a＋3.12.已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对任意的正实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且当x＞1时，f(x)＞0，f(4)＝1，5/5\n(1)求证：f(1)＝0；(2)求f()；(3)解不等式f(x)＋f(x－3)≤1.解：(1)证明：令x＝4，y＝1，那么f(4)＝f(4×1)＝f(4)＋f(1).∴f(1)＝0.(2)f(16)＝f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(1)＝f(×16)＝f()＋f(16)＝0，故f()＝－2.(3)设x1，x2＞0且x1＞x2，于是f()＞0，∴f(x1)＝f(×x2)＝f()＋f(x2)＞f(x2).∴f(x)为x∈(0，＋∞)上的增函数.又∵f(x)＋f(x－3)＝f[x(x－3)]≤1＝f(4)，∴⇒3＜x≤4.∴原不等式的解集为{x|3＜x≤4}.5/5
