第二章第七节对数函数题组一对数的化简与求值1.设函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，假设f(x1x2…x2022)＝8，那么f()＋f()＋…＋f(x)＝( )A.4B.8C.16D.2loga8解析：∵f(x1x2…x2022)＝f(x1)＋f(x2)＋…＋f(2022)＝8，∴f()＋f()＋…＋f()＝2[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(x2022)]＝2×8＝16.答案：C2.已知log23＝a，log37＝b，那么用a，b表示log1456为 .解析：∵log23＝a，log37＝b，∴log27＝ab，∴log1456＝＝＝答案：题组二对数函数的图象3.(2022·广东高考)假设函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，那么f(x)＝( )A.log2xB.C.logxD.x2解析：由题意f(x)＝logax，∴a＝logaa＝，∴f(x)＝logx.答案：C4.假设函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如以下图，其中a，b为常数，那么函数g(x)＝ax＋b的大致图象是( )5/5\n解析：由题意得0＜a＜1,0＜b＜1，那么函数g(x)＝ax＋b的大致图象是D.答案：D5.已知函数f(x)＝g(x)＝lnx，那么f(x)与g(x)两函数的图象的交点个数为( )A.1B.2C.3D.4解析：画出f(x)＝g(x)＝lnx的图象如图，两函数的图象的交点个数为3，应选C.答案：C题组三对数函数的性质6.(2022·天津高考)设a＝，b＝，c＝()0.3，那么( )A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜c＜aD.b＜a＜c解析：∵＜＝0，∴a＜0；∵＞＝1，∴b＞1；∵()0.3＜1，∴0＜c＜1，应选B.答案：B7.(2022·诸城模拟)假设定义运算f(a*b)＝那么函数f[log2(1＋x)*log2(1－x)]的值域是( )A.(－1,1)B.[0,1)C.(－∞，0]D.[0，＋∞)解析：f(log2(1＋x)*log2(1－x))＝借助函数图象易知，该函数的值域为[0,1).答案：B5/5\n8.(文)函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，那么a的值为( )A.B.C.2D.4解析：故y＝ax与y＝loga(x＋1)单调性相同且在[0,1]上的最值分别在两端点处取得.最值之和：f(0)＋f(1)＝a0＋loga1＋a＋loga2＝a，∴loga2＋1＝0，∴a＝.答案：B(理)函数f(x)＝ax＋logax在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为－，最大值与最小值之积为－，那么a等于( )A.2B.C.2或D.解析：ax与logax具有相同的单调性，最大值与最小值在区间的端点处取得，f(1)＋f(2)＝－，f(1)·f(2)＝－，解得a＝.答案：B9.已知f(x)＝loga(ax2－x)(a＞0，且a≠1)在区间[2,4]上是增函数，求实数a的取值范围.解：设t＝ax2－x＝a(x－)2－，假设f(x)＝logat在[2,4]上是增函数，所以实数a的取值范围为(1，＋∞).题组四对数函数的综合应用10.(2022·辽宁高考)已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝()5/5\nx；当x＜4时，f(x)＝f(x＋1).那么f(2＋log23)＝( )A.B.C.D.解析：∵2＜3＜4＝22，∴1＜log23＜2.∴3＜2＋log23＜4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝f(log224)＝＝＝＝.答案：A11.假设函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a＞0，a≠1)在区间(0，)内恒有f(x)＞0，那么f(x)的单调递增区间是 .解析：定义域为(0，＋∞)∪(－∞，－)，当x∈(0，)时，2x2＋x∈(0,1)，因为a＞0，a≠1，设u＝2x2＋x＞0，y＝logau在(0,1)上大于0恒成立，∴0＜a＜1，所以函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a＞0，a≠1)的单调递增区间是u＝2x2＋x(x∈(－∞，－)∪(0，＋∞))的递减区间，即(－∞，－).答案：(－∞，－)12.(文)假设f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a>0且a≠1).(1)求f(log2x)的最小值及相应x的值；(2)假设f(log2x)>f(1)且log2f(x)<f(1)，求x的取值范围.解：(1)∵f(x)＝x2－x＋b，∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b＝b，∴log2a＝1，∴a＝2.又∵log2f(a)＝2，∴f(a)＝4.∴a2－a＋b＝4，∴b＝2.∴f(x)＝x2－x＋2.∴f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2＝2＋.∴当log2x＝，即x＝时，f(log2x)有最小值.5/5\n(2)由题意知(理)已知f(x)＝logax，g(x)＝2loga(2x＋t－2)(a>0，a≠1，t∈R).(1)当t＝4，x∈[1,2]，且F(x)＝g(x)－f(x)有最小值2时，求a的值；(2)当0<a<1，x∈[1,2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，求实数t的取值范围.解：(1)当t＝4时，F(x)＝g(x)－f(x)＝loga，x∈[1,2]，令h(x)＝＝4(x＋＋2)，x∈[1,2]，那么h′(x)＝4(1－)＝>0，∴h(x)在[1,2]上是单调增函数，∴h(x)min＝16，h(x)max＝18.当0<a<1时，有F(x)min＝loga18，令loga18＝2求得a＝3>1(舍去)；当a>1时，有F(x)min＝loga16，令loga16＝2求得a＝4>1.∴a＝4.(2)当0<a<1，x∈[1,2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，即当0<a<1，x∈[1,2]时，logax≥2loga(2x＋t－2)恒成立，由logax≥2loga(2x＋t－2)可得loga≥loga(2x＋t－2)，∴≤2x＋t－2，∴t≥－2x＋＋2.设u(x)＝－2x＋＋2＝－2()2＋＋2＝－2(－)2＋，∵x∈[1,2]，∴∈[1，].∴u(x)max＝u(1)＝1.∴实数t的取值范围为t≥1.5/5
