第一章第十三节定积分与微积分根本定理（理）题组一定积分的计算1.已知f(x)为偶函数且f(x)dx＝8，那么f(x)dx等于( )A．0B．4C．8D．16解析：原式＝f(x)dx＋f(x)dx，∵原函数为偶函数，∴在y轴两侧的图象对称，∴对应的面积相等，即8×2＝16.答案：D2．设f(x)＝那么f(x)dx等于( )A.B.C.D．不存在解析：数形结合，f(x)dx=x2dx+(2-x)dx==.答案：C3．计算以下定积分：(1)(2x2－)dx；(2)(＋)2dx；(3)(sinx－sin2x)dx；解：(1)(2x2－)dx＝(x3－lnx)＝－ln2－＝－ln2.6/6\n(2)(＋)2dx＝(x＋＋2)dx＝(x2＋lnx＋2x)＝(＋ln3＋6)－(2＋ln2＋4)＝ln＋.(3)(sinx－sin2x)dx＝(－cosx＋cos2x)＝(－－)－(－1＋)＝－.题组二求曲多边形的面积4．如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影局部)，那么该闭合图形的面积是( )A．1B.C.D．2解析：函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于(－x2＋2x＋1－1)dx＝(－x2＋2x)dx＝.答案：B5．已知函数y＝x2与y＝kx(k＞0)的图象所围成的阴影局部(如以下图)的面积为，那么k＝________.解析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0，k]，再由(kx－x2)dx＝(－)＝＝求得k＝2.答案：26．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，记直线OP、曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积6/6\n分别记为S1，S2，假设S1＝S2，那么点P的坐标为________．解析：设直线OP的方程为y＝kx,P点的坐标为(x，y)，那么(kx－x2)dx＝(x2－kx)dx，即(kx2－x3)＝(x3－kx2)，解得kx2－x3＝－2k－(x3－kx2)，解得k＝，即直线OP的方程为y＝x，所以点P的坐标为(，)．答案：(，)题组三定积分在物理中的应用7.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，那么此物体在时间[1,2]内的位移为( )A. B.C.D.解析：s＝(t2－t＋2)dt＝(t3－t2＋2t)|＝.答案：A8．假设1N的力能使弹簧伸长1cm，现在要使弹簧伸长10cm，那么需要花费的功为( )A．0.05JB．0.5JC．0.25JD．1J解析：设力F＝kx(k是比例系数)，当F＝1N时，x＝0.01m，可解得k＝100N/m，那么F＝100x，所以W＝100xdx＝50x2＝0.5J.答案：B9．一辆汽车的速度—时间曲线如以下图，那么该汽车在这一分钟内行驶的路程为_______米．解析：据题意，v与t的函数关系式如下：6/6\nv＝v(t)＝所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s＝＝＋＋＝t2＋(50t－t2)＋10t＝900米．答案：900题组四定积分的综合应用10.(2022·烟台模拟)假设y＝(sint＋costsint)dt，那么y的最大值是( )A．1 B．2C．－D．0解析：y＝(sint＋costsint)dt＝(sint＋sin2t)dt＝(－cost－cos2t)＝－cosx－cos2x＋＝－cosx－(2cos2x－1)＋＝－cos2x－cosx＋＝－(cosx＋1)2＋2≤2.答案：B11．(2022·温州模拟)假设f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，那么dx的值是________．解析：∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由(ax＋b)dx＝5得(ax2＋bx)＝a＋b＝5，①由xf(x)dx＝得(ax2＋bx)dx＝，即6/6\n(ax3＋bx2)＝，∴a＋b＝，②解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3，于是dx＝dx＝(4＋)dx＝(4x＋3lnx)＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2.答案：4＋3ln212．设f(x)＝|x2－a2|dx.(1)当0≤a≤1与a＞1时，分别求f(a)；(2)当a≥0时，求f(a)的最小值．解：(1)0≤a≤1时，f(a)＝|x2－a2|dx＝(a2－x2)dx＋(x2－a2)dx＝(a2x－x3)＋(－a2x)＝a3－a3－0＋0＋－a2－＋a3＝a3－a2＋.当a＞1时，f(a)＝(a2－x2)dx＝(a2x－x3)＝a2－.∴f(a)＝6/6\n(2)当a＞1时，由于a2－在[1，＋∞)上是增函数，故f(a)在[1，＋∞)上的最小值是f(1)＝1－＝.当a∈[0,1]时，f′(a)＝4a2－2a＝2a(2a－1)，由f′(a)＞0知：a＞或a＜0，故在[0，]上递减，在[，1]上递增．因此在[0,1]上，f(a)的最小值为f()＝.综上可知，f(x)在[0，＋∞)上的最小值为.6/6
