3-4定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.dx等于( )A．－2ln2 B．2ln2C．－ln2D．ln2[答案] D[解析] dx＝lnx|＝ln4－ln2＝ln2.2．(2011·汕头模拟)设f(x)＝则f(x)dx等于( )A. B. C. D．不存在[答案] C[解析] f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx＝x3|＋＝.3．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是( )A．2πB．3πC.D．π[答案] A[解析] 如右图，S＝∫(1－cosx)dx＝(x－sinx)|＝2π.[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为，则对称性就无能为力了．11\n4．(sinx＋cosx)dx的值是( )A．0B.C．2D．4[答案] C[解析] (sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)|－＝2.5．已知正方形四个顶点分别为O(0,0)、A(1,0)、B(1,1)、C(0,1)，曲线y＝x2(x≥0)与x轴，直线x＝1构成区域M，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M内的概率是( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 如图，正方形面积1，区域M的面积为S＝x2dx＝x3|＝，故所求概率p＝.6．设f(x)＝(1－t)3dt，则f(x)的展开式中x的系数是( )A．－1B．1C．－4D．4[答案] B[解析] f(x)＝(1－t)3dt＝－(1－t)4|＝－(1－x)4，故展开式中x的系数为－×(－C)＝1，故选B.7．已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若－1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.[答案] －1或.11\n[解析] －1(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝4，∴2(3a2＋2a＋1)＝4即3a2＋2a－1＝0，解得a＝－1或a＝.8．(2011·潍坊模拟)抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为________．[答案] [解析] ∵y′＝－2x＋4，∴在点A(1,0)处切线斜率k1＝2，方程为y＝2(x－1)，在点B(3,0)处切线斜率k2＝－2，方程为y＝－2(x－3)．由得故所求面积S＝[(2x－2)－(－x2＋4x－3)]dx＋[(－2x＋6)－(－x2＋4x－3)]dx＝(x3－x2＋x)|＋(x3－3x2＋9x)|＝＋＝.9．若函数f(x)＝的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a，则a的值为________．[答案] [解析] 由图可知a＝＋∫0cosxdx＝＋sinx|0＝.11\n10.(2011·福州月考)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值．[解析] f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．∴S阴影＝[0－(－x3＋ax2)]dx＝(x4－ax3)|＝a4＝，∵a<0，∴a＝－1.能力拓展提升11.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是11\n( )A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案] A[解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0、t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C、D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.12．(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω＝{(x，y)|－≤x≤，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y＝cos2x下方的概率是( )A.B.C.－1D.[答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是，在这个区域中曲线y＝cos2x11\n下方区域的面积是∫－cos2xdx＝2∫0cos2xdx＝2(sin2x)|0＝1.故所求的概率是＝.故选D.13．(2012·郑州二测)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝4xdx，则公比q的值为( )A．1B．－C．1或－D．－1或－[答案] C[解析] 因为S3＝4xdx＝2x2|＝18，所以＋＋6＝18，化简得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－，故选C.14．(2012·太原模拟)已知(xlnx)′＝lnx＋1，则lnxdx＝( )A．1B．eC．e－1D．e＋1[答案] A[解析] 由(xlnx)′＝lnx＋1，联想到(xlnx－x)′＝(lnx＋1)－1＝lnx，于是lnxdx＝(xlnx－x)|＝(elne－e)－(1×ln1－1)＝1.15．有一条直线与抛物线y＝x2相交于A、B两点，线段AB与抛物线所围成图形的面积恒等于，求线段AB的中点P的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A(a，a2)，B(b，b2)，不妨设a<b，则直线AB的方程为y－a2＝(x－a)，即y＝(a＋b)x－ab.则直线AB与抛物线围成图形的面积为S＝[(a＋b)x－ab－x2]dx＝(x2－abx－)|＝(b－a)3，∴(b－a)3＝，解得b－a＝2.设线段AB的中点坐标为P(x，y)，其中将b－a＝2代入得11\n消去a得y＝x2＋1.∴线段AB的中点P的轨迹方程为y＝x2＋1.16.由曲线y＝x2和直线x＝0、x＝1、y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形为如图阴影部分，求其面积的最小值．[解析] S1＝t3－x2dx＝t3－t3＝t3，S2＝x2dx－(1－t)t2＝－t3－(1－t)t2＝t3－t2＋，S1＋S2＝t3－t2＋，t∈(0,1)．令y＝t3－t2＋，则y′＝4t2－2t，令y′＝0得t＝0或t＝，∵t∈(0,1)，∴当0<t<时，y′<0，当<t<1时，y′>0，∴当t＝时，y取最小值，即当t＝时，S1＋S2取到最小值，最小值为.1．如图，D是边长为4的正方形区域，E是区域D内函数y＝x2图象下方的点构成的区域，向区域D中随机投一点，则该点落入区域E中的概率为( )11\nA.B.C.D.[答案] C[解析] 阴影部分面积S＝2x2dx＝2×x3|＝，又正方形面积S′＝42＝16，∴所求概率P＝＝.2．设a＝sinxdx，则二项式(a－)6展开式的常数项是( )A．160B．20C．－20D．－160[答案] D[解析] a＝sinxdx＝－cosx|＝2，Tr＋1＝C(2)6－rr＝(－1)r26－rCx3－r，∵Tr＋1为常数项，∴3－r＝0，∴r＝3，∴(－1)3×23×C＝－160，故选D.3．在函数y＝|x|(x∈[－1,1])的图象上有一点P(t，|t|)，此函数与x轴，直线x＝－1及x＝t围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为( )11\n[答案] B[解析] 当t≤0时，S＝－1－xdx＝－x2|＝－t2；当t>0时，S＝＋xdx＝＋x2|＝＋t2，故选B.4．(2011·龙岩质检)已知函数f(x)＝sin5x＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求∫－f(x)dx的值，结果是( )A.＋B．πC．1D．0[答案] B[解析] f(x)dx＝sin5xdx＋1dx，由于函数y＝sin5x是奇函数，所以sin5xdx＝0，而1dx＝x|－＝π，故选B.5．设点P在曲线y＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP，直线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记作S1、S2.如图所示，当S1＝S2时，点P的坐标是( )11\nA.B.C.D.[答案] A[解析] 设P(t，t2)(0≤t≤2)，则直线OP：y＝tx，∴S1＝(tx－x2)dx＝；S2＝(x2－tx)dx＝－2t＋，若S1＝S2，则t＝，∴P.6．(2011·潍坊二模)曲线y＝sinx、y＝cosx与直线x＝0、x＝所围成的平面区域的面积为( )A．(sinx－cosx)dxB．2(sinx－cosx)dxC．(cosx－sinx)dxD．2(cosx－sinx)dx[答案] D[解析] 在同一坐标系中作出函数y＝sinx(0≤x≤)与y＝cosx(0≤x≤)的图象，可以发现两图象交于点P(，)，两图象与直线x＝0，x＝所围成的平面区域关于直线x＝11\n对称，在[0，)上，cosx>sinx，由x＝0，y＝cosx、y＝sinx在[0，]上围成的平面区域面积为(cosx－sinx)dx，故选D.11
