(六)不等式选讲1．(2022·福建省百校模拟)已知函数f(x)＝|x－a|－|x－1|.(1)当a＝2时，求不等式0<f(x)≤1的解集；(2)若∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤a2－3，求a的取值范围．解 (1)当a＝2时，因为f(x)＝|x－2|－|x－1|≤|(x－2)－(x－1)|＝1，所以f(x)≤1的解集为R；由f(x)>0，得|x－2|>|x－1|，则|x－2|2>|x－1|2，即x2－4x＋4>x2－2x＋1，解得x<.故不等式0<f(x)≤1的解集为.(2)当a≤0，x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－a－|x－1|＝则f(x)max＝1－a≤a2－3，又a≤0，所以a≤－；当0<a<1，x∈[1，＋∞)时，f(x)＝1－a>0>a2－3，故0<a<1不合题意；当a≥1，x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|x－a|－|x－1|≤|(x－a)－(x－1)|4\n＝|a－1|＝a－1，当且仅当0<x≤1时等号成立，则a2－3≥a－1，又a≥1，所以a≥2.综上，a的取值范围为∪[2，＋∞)．2．已知函数f(x)＝|2x＋a|＋|2x－1|，g(x)＝.(1)当a＝3时，解不等式f(x)≤6；(2)若对任意x1∈，都存在x2∈R，使得g(x1)＝f(x2)成立，求实数a的取值范围．解 (1)当a＝3时，f(x)＝|2x＋3|＋|2x－1|.由f(x)≤6，得或或解得－2≤x≤1.即不等式的解集为{x|－2≤x≤1}．(2)∵f(x)＝|2x＋a|＋|2x－1|≥|2x＋a－2x＋1|＝|a＋1|，当且仅当(2x＋a)(2x－1)≤0时，取等号，∴f(x)的值域为[|a＋1|，＋∞)．又g(x)＝＝3－在区间上单调递增，∴g(1)≤g(x)≤g，即g(x)的值域为.要满足条件，必有⊆[|a＋1|，＋∞)．∴0≤|a＋1|≤1，解得－2≤a≤0.∴a的取值范围为[－2,0]．3．(2022·咸阳模拟)已知函数f(x)＝|2x＋1|(x∈R)．(1)解不等式f(x)≤1；(2)设函数g(x)＝f(x)＋f(x－1)的最小值为m，且a＋b＝m(a，b>0)，求＋的取值范围．解 (1)由f(x)≤1，4\n即|2x＋1|≤1，得－1≤2x＋1≤1，解得x∈[－1,0]．即不等式的解集为{x|－1≤x≤0}．(2)g(x)＝f(x)＋f(x－1)＝|2x＋1|＋|2x－1|≥|2x＋1－(2x－1)|＝2，当且仅当(2x＋1)(2x－1)≤0，即－≤x≤时取等号，∴m＝2.∴a＋b＝2(a，b>0)，∴＋＝(a＋b)＝≥＝，当且仅当即a＝，b＝时等号成立，综上，＋的取值范围为.4．(2022·河南省郑州外国语学校模拟)已知函数f(x)＝|x＋1－2a|＋|x－a2|(a为正实数)，g(x)＝x2－2x－4＋.(1)若f(2a2－1)>4|a－1|，求实数a的取值范围；(2)若存在实数x，y，使f(x)＋g(y)≤0，求实数a的取值范围．解 (1)∵f(2a2－1)>4|a－1|，∴|2a2－2a|＋|a2－1|>4|a－1|，∴|a－1|(|2a|＋|a＋1|)>4|a－1|，∴|2a|＋|a＋1|>4且a≠1，∵a>0，∴2a＋a＋1>4且a≠1，∴a>1，∴a的取值范围是(1，＋∞)．(2)∵g(x)＝(x－1)2＋－5≥2－5＝－1，当且仅当(x－1)2＝，4\n即x＝1±时，等号成立．∴g(x)min＝－1.∴若存在实数x，y，使f(x)＋g(y)≤0，只需使f(x)min≤1，又f(x)＝|x＋1－2a|＋|x－a2|≥|(x＋1－2a)－(x－a2)|＝(a－1)2，∴(a－1)2≤1，∴－1≤a－1≤1，又∵a>0，∴实数a的取值范围是(0,2]．5．(2022·潍坊模拟)已知函数f(x)＝|x＋4|，不等式f(x)>8－|2x－2|的解集为M.(1)求M；(2)设a，b∈M，证明：f(ab)>f(2a)－f(－2b)．(1)解 将f(x)＝|x＋4|代入不等式，整理得|x＋4|＋|2x－2|>8.①当x≤－4时，不等式转化为－x－4－2x＋2>8，解得x<－，所以x≤－4；②当－4<x<1时，不等式转化为x＋4＋2－2x>8，解得x<－2，所以－4<x<－2；③当x≥1时，不等式转化为x＋4＋2x－2>8，解得x>2，所以x>2.综上，M＝{x|x<－2或x>2}．(2)证明 因为f(2a)－f(－2b)＝|2a＋4|－|－2b＋4|≤|2a＋4＋2b－4|＝|2a＋2b|，所以要证f(ab)>f(2a)－f(－2b)，只需证|ab＋4|>|2a＋2b|，即证(ab＋4)2>(2a＋2b)2，即证a2b2＋8ab＋16>4a2＋8ab＋4b2，即证a2b2－4a2－4b2＋16>0，即证(a2－4)(b2－4)>0，因为a，b∈M，所以a2>4，b2>4，所以(a2－4)(b2－4)>0成立，所以原不等式成立．4
