(五)坐标系与参数方程1．(2022·甘肃省西北师范大学附属中学模拟)已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos.(1)判断直线l与曲线C的位置关系；(2)设M为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围．解 (1)由消去t，得直线l的普通方程为y＝x＋4.由ρ＝2cos，得ρ＝2cosθcos－2sinθsin＝cosθ－sinθ.∴ρ2＝ρcosθ－ρsinθ，即x2－x＋y2＋y＝0.化为标准方程得2＋2＝1.∴圆心坐标为，半径为1.∵圆心到直线l：x－y＋4＝0的距离d＝＝5>1，∴直线l与曲线C相离．5\n(2)由M(x，y)为曲线C上任意一点，可设(0≤θ<2π)，则x＋y＝sinθ＋cosθ＝sin，∵0≤θ<2π，∴－≤sin≤，∴x＋y的取值范围是[－，]．2．(2022·湖北省华中师范大学第一附属中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，曲线C2的参数方程为(β为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；(2)已知射线l1：θ＝α，将射线l1顺时针方向旋转得到l2：θ＝α－，且射线l1与曲线C1交于O，P两点，射线l2与曲线C2交于O，Q两点，求|OP|·|OQ|的最大值．解 (1)曲线C1的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ.曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1，所以C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(2)设点P的极坐标为(ρ1，α)，即ρ1＝2cosα，设点Q的极坐标为，即ρ2＝2sin，则|OP|·|OQ|＝ρ1·ρ2＝2cosα·2sin＝4cosα＝2sinαcosα－2cos2α＝sin2α－cos2α－1＝2sin－1.∵<α<，∴<2α－<，5\n当2α－＝，即α＝时，|OP|·|OQ|取最大值1.3．(2022·江西省重点中学协作体联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(m,2)，其参数方程为(t为参数，m∈R)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋8cosθ－ρ＝0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)求已知曲线C1和曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数m的值．解 (1)C1的参数方程(t为参数，m∈R)消参得普通方程为x＋y－m－2＝0.C2的极坐标方程化为ρ(2cos2θ－1)＋8cosθ－ρ＝0，两边同乘ρ得2ρ2cos2θ＋8ρcosθ－2ρ2＝0，即y2＝4x.即C2的直角坐标方程为y2＝4x.(2)将曲线C1的参数方程标准化为(t为参数，m∈R)，代入曲线C2：y2＝4x，得t2＋4t＋4－4m＝0，由Δ＝(4)2－4××(4－4m)>0，得m>－3，设A，B对应的参数为t1，t2，由题意得|t1|＝2|t2|，即t1＝2t2或t1＝－2t2，当t1＝2t2时，解得m＝－，满足m>－3；当t1＝－2t2时，解得m＝33，满足m>－3.综上，m＝－或33.4．(2022·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，0≤α<π)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝4sinθ.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于不同的两点A，B，若|AB|＝8，求α的值．解 (1)将(t为参数，0≤α<π)消去参数t，整理得x·sinα－y·cosα＋cosα＝0，∴直线l的普通方程为xsinα－ycosα＋cosα＝0.5\n∵ρcos2θ＝4sinθ，∴ρ2cos2θ＝4ρsinθ，将ρcosθ＝x，ρsinθ＝y代入上式，得x2＝4y，∴曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.(2)将(t为参数，0≤α<π)代入方程x2＝4y，整理，得t2cos2α－4tsinα－4＝0，显然Δ＝16sin2α＋16cos2α＝16>0.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝，t1t2＝，∴|AB|＝|t1－t2|＝＝＝8，解得cosα＝±，又0≤α<π，∴α＝或α＝.5．(2022·贵州省凯里市第一中学模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数，α∈[0，π])，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)写出曲线C的极坐标方程；(2)设直线l1：θ＝θ0(θ0为任意锐角)，l2：θ＝θ0＋分别与曲线C交于A，B两点，试求△AOB面积的最小值．解 (1)由cos2α＋sin2α＝1，将曲线C的参数方程消参得＋＝1(y≥0)．又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以＋＝1，化简整理得曲线C的极坐标方程为ρ2＝(θ∈[0，π])．①(2)将θ＝θ0代入①式，得5\n|OA|2＝ρ＝，同理|OB|2＝ρ＝＝，于是＋＝＋＝，由于＝＋≥2(当且仅当ρA＝ρB时取“＝”)，故ρA·ρB≥，S△AOB＝ρA·ρB≥.故△AOB面积的最小值为.5
