(一)三角函数与解三角形1．已知函数f(x)＝sinx·(cosx＋sinx)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若关于x的方程f(x)＝t在区间内有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．解 (1)f(x)＝sinxcosx＋sin2x＝sin2x＋(1－cos2x)＝sin2x－cos2x＋＝sin＋.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为x∈，所以2x－∈.令u＝2x－，因为y＝sinu在上是增函数，在上是减函数，令u＝2x－＝，则x＝，所以f(x)在上是增函数，在上是减函数．由题意知，关于x的方程f(x)＝t在区间内有两个不相等的实数解，等价于y＝f(x)与y＝t的图象在区间内有两个不同的交点，5\n又因为f(0)＝0，f＝1＋，f＝，所以≤t<1＋，即t的取值范围是.2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA＝－，b＝，c＝.(1)求a；(2)求cos(B－A)的值．解 (1)在△ABC中，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝2＋5－2×××＝9，∴a＝3(舍负)．(2)在△ABC中，由cosA＝－，得A∈，∴sinA＝＝＝.在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，∴sinB＝，又A∈，故B∈，∴cosB＝＝＝.∴cos(B－A)＝cosBcosA＋sinBsinA＝×＋×＝.3．(2022·河北省衡水中学模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2B－cos2C＝sin2A－sinA·sinB.(1)求角C；(2)若A＝，△ABC的面积为4，M为AB的中点，求CM的长．解 (1)由cos2B－cos2C＝sin2A－sinAsinB，5\n得sin2C－sin2B＝sin2A－sinAsinB.由正弦定理，得c2－b2＝a2－ab，即a2＋b2－c2＝ab.又由余弦定理，得cosC＝＝＝.因为0<C<π，所以C＝.(2)因为A＝C＝，所以△ABC为等腰三角形，且顶角B＝.故S△ABC＝a2sinB＝a2＝4，所以a＝4(舍负)．在△MBC中，由余弦定理，得CM2＝MB2＋BC2－2MB·BCcosB＝4＋16＋2×2×4×＝28，解得CM＝2.4．(2022·重庆市綦江区调研)已知a＝(2cosx,2sinx)，b＝，函数f(x)＝cos〈a，b〉．(1)求函数f(x)的零点；(2)若锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且f(A)＝1，求的取值范围．解 (1)由条件可知，a·b＝2cosx·sin＋2sinx·cos＝2sin，∴f(x)＝cos〈a，b〉＝＝＝sin.由2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，即函数f(x)的零点为x＝＋，k∈Z.(2)由正弦定理得＝，5\n由(1)知，f(x)＝sin，又f(A)＝1，得sin＝1，∴2A－＝2kπ＋，k∈Z，又A∈(0，π)，得A＝，∵A＋B＋C＝π，∴C＝－B，代入上式化简得，＝＝＝＝2sin.又在锐角△ABC中，有0<B<，0<C＝－B<，∴<B<，∴<B＋<，则有<sin≤1，即<≤2.5．(2022·河南省郑州外国语学校调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋sinB＝sinC.(1)若cos2A＝sin2B＋cos2C＋sinAsinB，求sinA＋sinB的值；(2)若c＝2，求△ABC面积的最大值．解 (1)∵cos2A＝sin2B＋cos2C＋sinAsinB，∴1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sinAsinB，∴sin2A＋sin2B－sin2C＝－sinAsinB，∴由正弦定理，得a2＋b2－c2＝－ab，5\n∴由余弦定理，得cosC＝＝－，又0<C<π，∴C＝，∴sinA＋sinB＝sinC＝sin＝.(2)当c＝2，a＋b＝c＝2，∴cosC＝＝＝－1，∴sinC＝＝＝，∴S＝absinC＝ab＝.∵a＋b＝2≥2，即0<ab≤3，当且仅当a＝b＝时等号成立，∴S＝≤＝，∴△ABC面积的最大值为.5
