第5练 如何让“线性规划”不失分[题型分析·高考展望] “线性规划”也是高考每年必考内容，主要以选择题、填空题的形式考查，题目难度大多数为低、中档，在填空题中出现时难度稍高.二轮复习中，要注重常考题型的反复训练，注意研究新题型的变化点，争取在该题目上做到不误时，不丢分.常考题型精析题型一 已知约束条件，求目标函数的最值例1 若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n等于( )A.5B.6C.7D.8点评 (1)确定平面区域的方法：“直线定界，特殊点定域”.(2)线性目标函数在线性可行域中的最值，一般在可行域的顶点处取得，故可先求出可行域的顶点，然后代入比较目标函数的取值即可确定最值.变式训练1 (2022·山东)已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为( )A.5B.4C.D.2题型二 解决参数问题例2 (2022·浙江)当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________.点评 所求参数一般为对应直线的系数，最优解的取得可能在某点，也可能是可行域边界上的所有点，要根据情况利用数形结合进行确定.有时还需分类讨论.变式训练2 (2022·山东)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a等于( )A.3B.2C.－2D.－3题型三 简单线性规划的综合应用例3 设变量x，y满足约束条件则lg(y＋1)－lgx的取值范围为( )A.[0,1－2lg2]B.[1，]9\nC.[，lg2]D.[－lg2,1－2lg2]点评 若变量的约束条件形成一个区域，如圆、三角形、带状图形等，都可考虑用线性规划的方法解决，解决问题的途径是：集中变量的约束条件得到不等式组，画出可行域，确定变量的取值范围，解决具体问题.变式训练3 (2022·课标全国Ⅰ)若x，y满足约束条件则的最大值为________.高考题型精练1.(2022·北京)若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为( )A.0B.1C.D.22.(2022·安徽)已知x，y满足约束条件则z＝－2x＋y的最大值是( )A.－1B.－2C.－5D.13.(2022·课标全国Ⅰ)不等式组的解集记为D，有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2；p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2；p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3；p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中的真命题是( )A.p2，p3B.p1，p4C.p1，p2D.p1，p34.(2022·青岛联考)已知O是坐标原点，点A(－1，1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是( )A.[－1,0]B.[0,1]C.[0,2]D.[－1,2]5.(2022·重庆)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为( )A.－3B.19\nC.D.36.设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是( )A.B.C.D.7.某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆.则租金最少为( )A.31200元B.36000元C.36800元D.38400元8.在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积是9，则实数a的值为________.9.在不等式组表示的平面区域内作圆M，则最大圆M的标准方程为____________.10.抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界).若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是______________.11.4件A商品与5件B商品的价格之和不小于20元，而6件A商品与3件B商品的价格之和不大于24，则买3件A商品与9件B商品至少需要________元.12.给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线.9\n答案精析第5练 如何让“线性规划”不失分常考题型精析例1 B[画出可行域，如图阴影部分所示.由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z.由得∴A(－1，－1).由得∴B(2，－1).当直线y＝－2x＋z经过点A时，zmin＝2×(－1)－1＝－3＝n.当直线y＝－2x＋z经过点B时，zmax＝2×2－1＝3＝m，故m－n＝6.]变式训练1 B[线性约束条件所表示的可行域如图所示.由解得所以z＝ax＋by在A(2,1)处取得最小值，故2a＋b＝2，a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝(a－4)2＋4≥4.]例2 [1，]解析 画可行域如图所示，设目标函数z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，则a>0，数形结合知，满足即可，解得1≤a≤.所以a的取值范围是[1，].变式训练2 B[不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A(2,0)，由得B(1,1).由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.∴当a＝－2或a＝－3时，z＝ax＋y在O(0,0)处取得最大值，最大值为zmax＝0，不满足题意，排除C，D选项；当a＝2或3时，z＝ax＋y在A(2,0)处取得最大值，∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故选B.]9\n例3 A[如图所示，作出不等式组确定的可行域.因为lg(y＋1)－lgx＝lg，设t＝，显然，t的几何意义是可行域内的点P(x，y)与定点E(0，－1)连线的斜率.由图，可知点P在点B处时，t取得最小值；点P在点C处时，t取得最大值.由解得即B(3,2)；由解得即C(2,4).故t的最小值为kBE＝＝1，t的最大值为kCE＝＝，所以t∈[1，].又函数y＝lgx为(0，＋∞)上的增函数，所以lgt∈[0，lg]，即lg(y＋1)－lgx的取值范围为[0，lg].而lg＝lg5－lg2＝1－2lg2，所以lg(y＋1)－lgx的取值范围为[0,1－2lg2].故选A.]变式训练3 3[画出可行域如图阴影所示，∵表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x，y)在点A处时最大.由 得∴A(1,3).∴的最大值为3.]高考题型精练1.D[可行域如图所示.目标函数化为y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z过点A(0,1)时，z取得最大值2.]9\n2.A[约束条件下的可行域如图所示，由z＝－2x＋y可知y＝2x＋z，当直线y＝2x＋z过点A(1,1)时，截距最大，此时z最大为－1，故选A.]3.C[作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分).由得交点A(2，－1).目标函数的斜率k＝－>－1，观察直线x＋y＝1与直线x＋2y＝0的倾斜程度，可知u＝x＋2y过点A时取得最小值0.(y＝－＋，表示纵截距)结合题意知p1，p2正确.]4.C[作出可行域，如图所示，由题意·＝－x＋y.设z＝－x＋y，作l0：x－y＝0，易知，过点(1,1)时z有最小值，zmin＝－1＋1＝0；过点(0,2)时z有最大值，zmax＝0＋2＝2，∴·的取值范围是[0,2].]5.B[不等式组表示的区域如图，则图中A点纵坐标yA＝1＋m，B点纵坐标yB＝，C点横坐标xC＝－2m，∴S△ABD＝S△ACD－S△BCD＝×(2＋2m)×(1＋m)－×(2＋2m)×＝＝，9\n∴m＋1＝2或－2(舍)，∴m＝1.]6.C[当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此m<0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域.要使可行域内包含y＝x－1上的点，只需可行域边界点(－m，m)在直线y＝x－1的下方即可，即m<－m－1，解得m<－.]7.C[设租A型车x辆，B型车y辆时租金为z元，则z＝1600x＋2400y，x、y满足画出可行域如图.直线y＝－x＋过点A(5,12)时纵截距最小，∴zmin＝5×1600＋2400×12＝36800，故租金最少为36800元.]8.1[如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，据题意易知平面区域为等腰直角三角形，其中A(a，a＋4)，C(a，－a)，故|AC|＝|2a＋4|，则S△ABC＝×|2a＋4|×|a＋2|＝9，解得a＝1或a＝－5(不合题意，应舍去).]9\n9.(x－1)2＋y2＝4[在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，所求的圆M是相应的平面区域的边界三角形的内切圆，设所求的圆心M坐标是(a，b)，于是有由此解得a＝1，b＝0，相应的圆的半径是3－a＝2，因此所求的圆M的标准方程是(x－1)2＋y2＝4.]10.解析 由y＝x2得y′＝2x，则y′|x＝1＝2，抛物线y＝x2在x＝1处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，切线y＝2x－1与两坐标轴围成三角形区域D如图所示(阴影部分).由y＝0得x＝，知A由x＝0得y＝－1知，B(0，－1)因此－2≤x＋2y≤.11.22解析 设1件A商品的价格为x元，1件B商品的价格为y元，买3件A商品与9件B商品需要z元，则z＝3x＋9y，其中x，y满足不等式组作出不等式组表示的平面区域，如图所示，其中A(0,4)，B(0,8)，C(，).当y＝－x＋z经过点C时，目标函数z取得最小值.所以zmin＝3×＋9×＝22.因此当1件A商品的价格为元，1件B商品的价格为元时，可使买3件A商品与9件B商品的费用最少，最少费用为22元.12.6解析 线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故共可确定6条不同的直线.9\n9
