考点一 古典概型1．(2022·陕西，6)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A.B.C.D.解析 从这5个点中任取2个，有C＝10种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有C＝6种，因此所求概率P＝＝.故选C.答案 C2．(2022·陕西，10)甲乙两人一起去游“2022西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )A.B.C.D.解析 ∵甲、乙参观每一个景点是随机且独立的，∴在最后一个小时参观哪一个景点是等可能的∴甲有6种可能性，乙也有6种可能性，基本事件空间总数n＝36，事件“二人同在一个景点参观”的基本事件数m＝6，由古典概型概率公式得P＝＝.答案 D3．(2022·浙江，9)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )A.B.C.D.解析 语文、数学只有一科的两本书相邻，有2AAA＝48种摆放方法．语文、数学两科的两本书都相邻，有AAA＝24种摆放方法．而五本不同的书排成一排总共有A＝120种摆放方法．故所求概率为1－＝，故选B.答案 B4．(2022·江苏，5)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只7\n黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．解析 这两只球颜色相同的概率为，故两只球颜色不同的概率为1－＝.答案 5．(2022·江苏，4)从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．解析 从1，2，3，6中随机取2个数，共有6种不同的取法，其中所取2个数的乘积是6的有1，6和2，3，共2种，故所求概率是＝.答案 6．(2022·广东，11)从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．解析 十个数中任取七个不同的数共有C种情况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有C种情况，于是所求概率P＝＝.答案 7．(2022·江西，12)10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．解析 从10件产品中任取4件共有C＝210种不同的取法，因为10件产品中有7件正品、3件次品，所以从中任取4件恰好取到1件次品共有CC＝105种不同的取法，故所求的概率为P＝＝.答案 8．(2022·新课标全国Ⅱ，14)从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝________.解析 从1，2，…，n中任取两个不同的数共有C种取法，两数之和为5的有(1，4)，(2，3)2种，所以＝，即＝＝，解得n＝8.答案 89．(2022·江苏，6)现在10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．7\n解析 由题意可知，这10个数分别为1，－3，9，－27，81，－35，36，－37，38，－39，在这10个数中，比8小的有5个负数和1个正数，故由古典概型的概率公式得所求概率P＝＝.答案 10．(2022·江苏，5)从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．解析 从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数的种数为C＝6(种)，其中一个数是另一个数的两倍的数对为1，2和2，4.故符合条件的概率为＝.答案 11．(2022·北京，16)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)解 设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i＝1，2，…，7.由题意可知P(Ai)＝P(Bi)＝，i＝1，2，…，7.(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝.(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝.7\n(3)a＝11或a＝18.考点二 随机数与几何概型1．(2022·陕西，11)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为( )A.＋B.－C.－D.＋解析 由|z|≤1可得(x－1)2＋y2≤1，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y≥x的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为：P＝＝＝－.答案 B2．(2022·湖北，7)由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.B.C.D.解析 由题意作图，如图所示，Ω1的面积为×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－××＝，则所求的概率P＝＝.选D.答案 D7\n3．(2022·四川，9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.B.C.D.解析 设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，则由题意可得，0≤x≤4，0≤y≤4；而所求事件“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过2秒”＝{(x，y)||x－y|≤2}，由图示得，该事件概率P＝＝＝.答案 C4.(2022·福建，6)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为( )A.B.C.D.解析 题图中阴影部分面积(－x)dx＝＝，而正方形OABC的面积为1，∴所求概率为＝.故选C.答案 C5．(2022·福建，13)如图，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(2，4)，函数f(x)＝x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．解析 由几何概型的概率公式：P＝1－＝.答案 6．(2022·福建，14)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，7\n则它落到阴影部分的概率为______．解析 因为函数y＝ex与函数y＝lnx互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，又因为函数y＝ex与直线y＝e的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e×1－exdx)＝2e－2ex＝2e－(2e－2)＝2，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率P＝＝.答案 7．(2022·福建，11)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1>0”发生的概率为________．解析 由3a－1>0得a>，由几何概型知P＝＝.答案 8.(2022·湖南，15)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．(1)若φ＝，点P的坐标为，则ω＝________；(2)若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．解析 f(x)＝sin(ωx＋φ)，f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)．(1)φ＝时，f′(x)＝ωcos(ωx＋)．∵f′(0)＝，即ωcos＝，∴ω＝3.(2)当ωx＋φ＝时，x＝；7\n当ωx＋φ＝时，x＝.由几何概型可知，该点在△ABC内的概率为＝＝＝.答案 (1)3 (2)7
