考点一 向量的数量积1．(2022·山东，4)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝( )A．－a2B．－a2C.a2D.a2解析 如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°＝a2＋a2－2a·a×＝3a2，∴BD＝a.∴·＝||·||cos30°＝a2×＝a2.答案 D2．(2022·安徽，8)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是( )A．|b|＝1B．a⊥bC．a·b＝1D．(4a＋b)⊥解析 由于△ABC是边长为2的等边三角形；∴(＋)·(－)＝0，即(＋)·＝0，∴(4a＋b)⊥，即(4a＋b)⊥，故选D.答案 D3．(2022·四川，7)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝( )A．20B.15C．9D．6解析 ＝＋，＝－＝－＋，10\n∴·＝(4＋3)·(4－3)＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9，选C.答案 C4．(2022·福建，9)已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于( )A．13B．15C．19D．21解析 建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，＝，＝(0，t)，＝＋＝t＋(0，t)＝(1，4)，∴P(1，4)，·＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，故选A.答案 A5．(2022·新课标全国Ⅱ，3)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝( )A．1B．2C．3D．5解析 由向量的数量积运算可知，∵|a＋b|＝，∴(a＋b)2＝10，∴a2＋b2＋2a·b＝10，①同理a2＋b2－2a·b＝6，②①－②得4a·b＝4，∴a·b＝1.答案 A6．(2022·大纲全国，4)若向量a、b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝( )A．2B.C．1D.10\n解析 由题意得⇒－2a2＋b2＝0，即－2|a|2＋|b|2＝0，又|a|＝1，∴|b|＝.故选B.答案 B7．(2022·北京，10)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.解析 ∵|a|＝1，∴可令a＝(cosθ，sinθ)，∵λa＋b＝0，∴即由sin2θ＋cos2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝.答案 8．(2022·江西，14)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.解析 因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3，b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cosα＋1＝8，所以|b|＝2，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，所以cosβ＝＝＝.答案 9．(2022·山东，15)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．解析 ∵＝λ＋，⊥，又＝－，∴(－)·(＋λ)＝0.∴2＋λ·－·－λ2＝0，即4＋(λ－1)×3×2×－9λ＝0，即7－12λ＝0，∴λ＝.10\n答案 10．(2022·北京，13)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．解析 如图建立直角坐标系，则D(0，0)，A(0，1)，B(1，1)，C(1，0)．设E(x，1)，那么＝(x，1)，＝(0，1)，∴·＝1.∵＝(1，0)，∴·＝x.∵正方形的边长为1，∴x的最大值为1，故·的最大值为1.答案 1 1考点二 平面向量的长度与角度问题1．(2022·重庆，6)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )A.B.C.D．π解析 由题意(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－a·b－2b2＝0，即3|a|2－|a|·|b|cosθ－2|b|2＝0，所以3×－cosθ－2＝0，cosθ＝，θ＝，选A.答案 A2．(2022·陕西，7)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( )A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2解析 对于A，由|a·b|＝||a||b|cos<a，b>|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立．故选B.答案 B3.(2022·天津，8)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝( )10\nA.B.C.D.解析 如图所示，以菱形ABCD的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy，不妨设A(0，－1)，B(－，0)，C(0，1)，D(，0)，由题意得＝(1－λ)·＝(λ－，λ－1)，＝(1－μ)＝(－μ，μ－1)．因为·＝－，所以3(λ－1)·(1－μ)＋(λ－1)(μ－1)＝－，即(λ－1)(μ－1)＝.因为＝＋＝(λ－，λ＋1)．＝＋＝(－μ，μ＋1)，又·＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.由整理得λ＋μ＝.选C.答案 C4．(2022·辽宁，10)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( )A.－1B．1C.D．2解析 设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，则x2＋y2＝1，a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x，1－y)，则(a－c)·(b－c)＝(1－x)(－x)＋(－y)(1－y)＝x2＋y2－x－y＝1－x－y≤0，即x＋y≥1.又a＋b－c＝(1－x，1－y)，∴|a＋b－c|＝＝①|a＋b－c|＝＝……10\n＝＝，由x＋y≥1，∴|a＋b－c|≤＝1，最大值为1.答案 B5．(2022·天津，14)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则||·||的最小值为________．解析 在梯形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，可得DC＝1，＝＋λ，＝＋，∴·＝(＋λ)·(＋)＝·＋·＋λ·＋λ·＝2×1×cos60°＋2×＋λ×1×cos60°＋λ×cos120°＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即λ＝时，取得最小值为.答案 6．(2022·湖北，11)设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.解析 (a＋λb)⊥(a－λb)⇒(a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝0⇒18－2λ2＝0⇒λ＝±3.答案 ±310\n7．(2022·江苏，12)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．解析 因为＝＋＝＋，＝＋＝－，所以·＝(＋)·(－)＝||2－||2－·＝2，将AB＝8，AD＝5代入解得·＝22.答案 228．(2022·浙江，17)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于________．解析 |b|2＝(xe1＋ye2)2＝x2＋y2＋2xye1·e2＝x2＋y2＋xy.∴＝，当x＝0时，＝0；当x≠0时，＝＝≤2.答案 29．(2022·新课标全国Ⅰ，13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.解析 ∵b·c＝0，∴b·[ta＋(1－t)b]＝0，ta·b＋(1－t)·b2＝0，又∵|a|＝|b|＝1，a，b＝60°，∴t＋1－t＝0，t＝2.答案 210．(2022·新课标全国，13)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.解析 |2a－b|＝⇔(2a－b)2＝10⇔4＋|b|2－4|b|cos45°＝10⇔|b|＝3或|b10\n|＝－(舍去)．答案 3考点三 数量积的综合应用1．(2022·浙江，7)设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则( )A．∠ABC＝90°B．∠BAC＝90°C．AB＝ACD．AC＝BC解析 设AB＝4，以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，则A(－2，0)，B(2，0)，则P0(1，0)，设C(a，b)，P(x，0)，∴＝(2－x，0)，＝(a－x，b)，∴＝(1，0)，＝(a－1，b)，则·≥·⇒(2－x)·(a－x)≥a－1恒成立，即x2－(2＋a)x＋a＋1≥0恒成立，∴Δ＝(2＋a)2－4(a＋1)＝a2≤0恒成立，∴a＝0，即点C在线段AB的中垂线上，∴AC＝BC，选D.答案 D2．(2022·广东，8)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝.若平面向量a，b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈，且a∘b和b∘a都在集合中，则a∘b＝( )A.B．1C.D.解析 由定义知a∘b＝＝＝cosθ.b∘a＝＝＝cosθ.∵a∘b，b∘a∈.设a∘b＝，b∘a＝(m，n∈Z)．则cosθ＝，cosθ＝，两式相乘，得cos2θ＝.10\n又∵θ∈，∴cosθ∈，cos2θ∈，∴mn＝4cos2θ∈(2，4)．又∵m，n∈Z，m>0，n>0，m>n，∴m＝3，n＝1，∴a∘b＝＝.答案 C3．(2022·浙江，15)已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝，若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝，且对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，则x0＝________，y0＝________，|b|＝________.解析 ∵e1·e2＝|e1|·|e2|cos〈e1，e2〉＝，∴〈e1，e2〉＝.不妨设e1＝，e2＝(1，0，0)，b＝(m，n，t)．由题意知解得n＝，m＝，∴b＝.∵b－(xe1＋ye2)＝，∴|b－(xe1＋ye2)|2＝＋＋t2＝x2＋xy＋y2－4x－5y＋t2＋7＝＋(y－2)2＋t2.由题意知，当x＝x0＝1，y＝y0＝2时，＋(y－2)2＋t2取到最小值．此时t2＝1，故|b|＝＝2.答案 1 2 24．(2022·广东，16)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈.(1)若m⊥n，求tanx的值．10\n(2)若m与n的夹角为，求x的值．解 (1)因为m＝，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.所以m·n＝0，即sinx－cosx＝0，所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，即sinx－cosx＝，所以sin＝，因为0<x<，所以－<x－<，所以x－＝，即x＝.10
