第二节 平面向量的数量积及其应用A组 专项基础测试三年模拟精选选择题1.(2022·晋冀豫三省二调)已知向量a＝(1，k)，b＝(2，2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为( )A.1B.2C.3D.4解析 ∵a＝(1，k)，b＝(2，2)，∴a＋b＝(3，k＋2)，又∵a＋b与a共线，∴3×2－(k＋2)·2＝0，即k＝1，故a·b＝(1，1)·(2，2)＝2＋2＝4.答案 D2.(2022·洛阳市高三统考)设等边△ABC边长为6，若＝3，＝，则·等于( )A.－6B.6C.－18D.18解析 令＝c，＝b，则＝＋＝－c＋b，＝＋＝b＋c，·＝·＝－b2＝－18.答案 C3.(2022·郑州模拟)若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是( )A.一次函数且是奇函数B.一次函数但不是奇函数C.二次函数且是偶函数D.二次函数但不是偶函数解析 ∵a⊥b，∴a·b＝0.于是f(x)＝(a·b)x2＋(|b|2－|a|2)x－a·b＝(|b|2－|a|2)x，又∵|a|≠|b|，∴|b|2－|a|2≠0.∴f(x)为一次函数且是奇函数.答案 A4.(2022·广州模拟)△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，在方向上的投影为( )A.－3B.－C.D.3解析 由＋＋＝0得＝－＝，5\n∴四边形OBAC为平行四边形.又||＝||，∴四边形OBAC为边长为2的菱形.∴∠ACB＝.∴三角形OAB为正三角形，∵外接圆的半径为2，∴在方向上的投影为||cos＝2×＝.故选C.答案 C一年创新演练5.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3b－c)cosA＝acosC，S△ABC＝，则·＝________.解析 依题意得(3sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，即3sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB＞0，于是有cosA＝，sinA＝＝，又S△ABC＝·bcsinA＝bc×＝，所以bc＝3，·＝bccos(π－A)＝－bccosA＝－3×＝－1.答案 －16.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________.解析 法一 以D为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则D(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，设E(1，a)(0≤a≤1).所以·＝(1，a)·(1，0)＝1，·＝(1，a)·(0，1)＝a≤1，故·的最大值为1.5\n法二 ·＝(＋)·＝(＋)·＝||2＋·，∵⊥，∴·＝0.∴·＝12＋0＝1.·＝(＋)·＝·＋·＝λ||2(0≤λ≤1)，∴·的最大值为1.答案 1 1B组 专项提升测试 三年模拟精选一、选择题7.(2022·郑州市一测)已知函数f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则(＋)·(－)的值为( )A.－1B.－C.D.2解析 注意到函数f(x)的图象关于点C对称，因此C是线段DE的中点，＋＝2.又－＝＋＝，且||＝T＝×＝1，因此(＋)·(－)＝22＝2.答案 D8.(2022·唐山一中高三期中)若a，b，c均为单位向量，a·b＝－，c＝xa＋yb(x，y∈R)，则x＋y的最大值是( )A.2B.C.D.1解析 由c·c＝(xa＋yb)·(xa＋yb)＝x2＋y2－xy＝1，5\n得(x＋y)2－1＝3xy≤3·即(x＋y)2≤4，故(x＋y)max＝2.答案 A9.(2022·辽宁大连检测)已知向量a，b满足|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝－2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋5在R上单调递减，则向量a，b夹角的取值范围是( )A.B.C.D.解析 设向量a，b的夹角为θ，因为f(x)＝－2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋5，所以f′(x)＝－6x2＋6|a|x＋6a·b，又函数f(x)在R上单调递减，所以f′(x)≤0在R上恒成立，所以Δ＝36|a|2－4×(－6)×(6a·b)≤0，解得a·b≤－|a|2，因为a·b＝|a||b|cosθ，且|a|＝2|b|≠0，所以|a||b|cosθ＝|a|2cosθ≤－|a|2，解得cosθ≤－，因为θ∈[0，π]，所以向量a，b的夹角θ的取值范围是，故选D.答案 D二、解答题10.(2022·山东烟台上学期期中)已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1，2).(1)若a∥b，求tanθ的值；(2)若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求θ的值.解 (1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5，从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin＝－，5\n又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜，所以2θ＋＝或2θ＋＝.因此θ＝或θ＝.一年创新演练11.函数y＝tan的部分图象如图所示，则(＋)·等于( )A.4B.6C.1D.2解析 由条件可得B(3，1)，A(2，0)，∴(＋)·＝(＋)·(－)＝2－2＝10－4＝6.答案 B12.已知向量a＝(x＋z，3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b.若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为( )A.[－2，2]B.[－2，3]C.[－3，2]D.[－3，3]解析 依题意得2(x＋z)＋3(y－z)＝0，即z＝2x＋3y.如图，在坐标平面内画出题中的不等式表示的平面区域(图中阴影部分)及直线2x＋3y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(0，1)与(0，－1)时，相应直线在x轴上的截距分别取到最大值与最小值，因此z＝2x＋3y的最大值与最小值分别是3、－3，z的取值范围为[－3，3]，选D.答案 D5
