第二节 平面向量的数量积及其应用考点一 向量的数量积1.(2022·广东，9)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2，1)，则·＝( )A.5B.4C.3D.2解析 ∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝＋＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1).∴·＝2×3＋(－1)×1＝5.答案 A2.(2022·陕西，8)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( )A.|a·b|≤|a||b|B.|a－b|≤||a|－|b||C.(a＋b)2＝|a＋b|2D.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2解析 对于A，由|a·b|＝||a||b|cosa，b|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立.故选B.答案 B3.(2022·新课标全国Ⅱ，4)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝( )A.1B.2C.3D.5解析 因为|a＋b|＝，所以|a＋b|2＝10，即a2＋2a·b＋b2＝10.①又因为|a－b|＝，∴a2－2a·b＋b2＝6.②由①－②得4a·b＝4，即a·b＝1，故选A.答案 A4.(2022·福建，3)已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则a⊥b的充要条件是( )10\nA.x＝－B.x＝－1C.x＝5D.x＝0解析 ∵a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，a⊥b，∴a·b＝(x－1，2)·(2，1)＝2(x－1)＋2×1＝2x＝0，∴x＝0.答案 D5.(2022·湖北，7)已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为( )A.B.C.－D.－解析 ∵A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，∴a＝＝(2，1)，b＝＝(5，5).∴向量在方向上的投影为||cos〈a，b〉＝×＝＝.故选A.答案 A6.(2022·湖北，11)已知向量⊥，||＝3，则·＝________.解析 因为⊥，所以·＝0.所以·＝·(＋)＝2＋·＝||2＋0＝32＝9.答案 97.(2022·天津，13)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________.解析 在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，∴CD＝1，＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴·＝·＝·＋·＋·＋·＝2×1×cos60°＋2×＋×1×cos60°＋××cos120°＝.10\n答案 8.(2022·重庆，12)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.解析 因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝＝2，又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2××＝10.答案 109.(2022·新课标全国Ⅰ，13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.解析 本题考查平面向量数量积的运算.b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)|b|2＝t＋1－t＝1－t＝0⇒t＝2.答案 210.(2022·新课标全国Ⅱ，14)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.解析 本题考查向量数量积及运算性质.以{，}为基底，则·＝0，∵＝＋，＝－，∴·＝·(－)＝－||2＋||2＝－×22＋22＝2.答案 2考点二 平面向量的夹角、长度问题1.(2022·重庆，7)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( )A.B.C.D.解析 因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0，又|b|＝4|a|，则上式可化为2|a|2＋|a|×4|a|·cos〈a，b〉＝0即2＋4cos〈a，b〉＝0，所以cos〈a，b〉＝－，即a，b夹角为π.答案 C2.(2022·湖南，10)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，10\n动点D满足||＝1，则|＋＋|的取值范围是( )A.[4，6]B.[－1，＋1]C.[2，2]D.[－1，＋1]解析 设D(x，y)，则(x－3)2＋y2＝1，＋＋＝(x－1，y＋)，故|＋＋|＝，|＋＋|的最大值即为圆(x－3)2＋y2＝1上的点到点(1，－)距离的最大值，其最大值为圆(x－3)2＋y2＝1的圆心到点(1，－)的距离加上圆的半径，即＋1＝＋1，最小值为－1＝－1，故取值范围为[－1，＋1].答案 D3.(2022·山东，7)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m＝( )A.2B.C.0D.－解析 根据平面向量的夹角公式可得＝，即3＋m＝×，两边平方并化简得6m＝18，解得m＝，经检验符合题意.答案 B4.(2022·重庆，6)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|等于( )A.B.C.2D.10解析 由a·b＝(x，1)·(1，－2)＝x－2＝0，得x＝2，所以a＋b＝(2，1)＋(1，－2)＝(3，－1)，所以|a＋b|＝＝.故选B.答案 B5.(2022·湖南，8)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为( )A.－1B.C.＋1D.＋2解析 由a·b＝0，得a⊥b，故|a＋b|＝.而1＝|c－a－b|≥||c|－|a＋b||＝||c|－|，10\n则有－1≤|c|－≤1，解得－1≤|c|≤＋1，故|c|的最大值为＋1.答案 C6.(2022·浙江，13)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.解析 因为|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝.所以e1与e2的夹角为60°.又因为b·e1＝b·e2＝1，所以b·e1－b·e2＝0，即b·(e1－e2)＝0，所以b⊥(e1－e2).所以b与e1的夹角为30°，所以b·e1＝|b|·|e1|cos30°＝1.∴|b|＝.答案 7.(2022·四川，14)平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝______.解析 由已知可以得到c＝(m＋4，2m＋2)，且cos〈c，a〉＝cos〈c，b〉，所以＝，即＝，即＝，解得m＝2.答案 28.(2022·安徽，13)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________.解析 ∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|，∴|a|2＝9|b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，∴a·b＝－|b|2，∴cos〈a，b〉＝＝＝－.答案 －9.(2022·浙江，17)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于________.10\n解析 因为b≠0，所以b＝xe1＋ye2，x≠0，y≠0.又|b|2＝(xe1＋ye2)2＝x2＋y2＋xy，＝＝，不妨设＝t，则＝，当t＝－时，t2＋t＋1取得最小值，此时取得最大值，所以的最大值为2.答案 210.(2022·陕西，18)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且＝m＋n(m，n∈R).(1)若m＝n＝，求||；(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值.解 (1)∵m＝n＝，＝(1，2)，＝(2，1)，∴＝(1，2)＋(2，1)＝(2，2)，∴||＝＝2.(2)∵＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，∴两式相减，得m－n＝y－x.令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.考点三 向量的应用1.(2022·福建，7)设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于( )A.－B.－C.D.解析 c＝a＋kb＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k，2＋k)，∵b⊥c，∴b·c＝0，b·c＝(1，110\n)·(1＋k，2＋k)＝1＋k＋2＋k＝3＋2k＝0，∴k＝－，故选A.答案 A2.(2022·湖南，9)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(2，0)，则|＋＋|的最大值为( )A.6B.7C.8D.9解析 由A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴线段AC为圆的直径，故＋＝2＝(－4，0)，设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[－1，1]，＝(x－2，y)，所以＋＋＝(x－6，y)，∴|＋＋|＝，∴当x＝－1时，此式有最大值＝7，故选B.答案 B3.(2022·安徽，10)设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为( )A.B.C.D.0解析 设S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4，若S的表达式中有0个a·b，则S＝2a2＋2b2，记为S1，若S的表达式中有2个a·b，则S＝a2＋b2＋2a·b，记为S2，若S的表达式中有4个a·b，则S＝4a·b，记为S3.又|b|＝2|a|，所以S1－S3＝2a2＋2b2－4a·b＝2(a－b)2＞0，S1－S2＝a2＋b2－2a·b＝(a－b)2＞0，S2－S3＝(a－b)2＞0，所以S3＜S2＜S1，故Smin＝S3＝4a·b，设a，b的夹角为θ，则Smin＝4a·b＝8|a|2cosθ＝4|a|2，即cosθ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝.答案 B4.(2022·广东，10)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc.10\n④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析 对于①，若向量a，b确定，因为a－b是确定的，故总存在向量c，满足c＝a－b，即a＝b＋c，故正确；对于②，因为c和b不共线，由平面向量基本定理知，总存在唯一的一对实数λ，μ，满足a＝λb＋μc，故正确；对于③，如果a＝λb＋μc，则以|a|，|λb|，|μc|为三边长可以构成一个三角形，如果b和正数μ确定，则一定存在单位向量c和实数λ满足a＝λb＋μc，故正确；对于④，如果给定的正数λ和μ不能满足“以|a|，|λb|，|μc|为三边长可以构成一个三角形”，这时单位向量b和c就不存在，故错误，故选C.答案 C5.(2022·福建，10)在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )A.B.2C.5D.10解析 由于·＝1×(－4)＋2×2＝0，故⊥，则该四边形的面积S＝||||＝××＝5.答案 C6.(2022·广东，10)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈，且a∘b和b∘a都在集合{|n∈Z}中，则a∘b＝( )A.B.C.1D.解析 由已知cosθ＝∈，再根据α·β的定义可知，b∘a＝＝＝cosθ∈；a∘b＝＝＝cosθ∈.(a∘b)(b∘a)＝cos2θ∈.10\n又因为a∘b和b∘a都在集合{|n∈Z}中，所以n只能取1，此时a∘b＝.答案 D7.(2022·江苏，14)设向量ak＝(k＝0，1，2，…，12)，则(ak·ak＋1)的值为________.解析 ∵ak＝，∴ak·ak＋1＝·＝cos·cosπ＋·＝cos＋cosπ＋sinπ.故ak·ak＋1=＝cos＋cosπ＋sinπ.由cosπ＝0，sinπ＝0，得ak·ak＋1＝cos×12＝9.答案 98.(2022·浙江，15)若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________.解析 以α，β为邻边的平行四边形的面积为S＝|α||β|·sinθ＝|β|sinθ＝，∴sin10\nθ＝.又∵|β|≤1，∴≥，即sinθ≥且θ∈[0，π].∴θ∈.答案 10
