第一节 平面向量的概念及坐标运算考点一 平面向量的线性运算及几何意义1.(2022·北京，6)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 由数量积定义a·b＝|a|·|b|·cosθ＝|a|·|b|，(θ为a，b夹角)，∴cosθ＝1，θ∈[0°，180°]，∴θ＝0°，∴a∥b；反之，当a∥b时，a，b的夹角θ＝0°或180°，a·b＝±|a|·|b|.答案 A2.(2022·四川，2)设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝( )A.2B.3C.4D.6解析 a＝(2，4)，b＝(x，6)，∵a∥b，∴4x－2×6＝0，∴x＝3.答案 B3.(2022·新课标全国Ⅰ，6)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝( )A.B.C.D.解析 ＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝，故选A.答案 A4.(2022·福建，10)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于( )A.B.2C.3D.44\n解析 依题意知，点M是线段AC的中点，也是线段BD的中点，所以＋＝2OM，＋＝2，所以＋＋＋＝4，故选D.答案 D5.(2022·四川，7)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )A.|a|＝|b|且a∥bB.a＝－bC.a∥bD.a＝2b解析 由a＝2b可推出a，b方向相同，从而有＝.反之不成立.故选D.答案 D6.(2022·四川，12)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ.则λ＝________.解析 由平行四边形法则可得＋＝＝2，所以λ＝2.答案 27.(2022·安徽，15)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥；⑤(4a＋b)⊥.解析 ∵△ABC为边长是2的等边三角形，∴||＝|2a|＝2|a|＝2，从而|a|＝1，故①正确；又＝－＝2a＋b－2a＝b，∴b∥，故④正确；又(＋)·(－)＝2－2＝0，∴(＋)⊥，即(4a＋b)⊥，故⑤正确.答案 ①④⑤考点二 平面向量基本定理及坐标运算1.(2022·新课标全国Ⅰ，2)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )A.(－7，－4)B.(7，4)C.(－1，4)D.(1，4)4\n解析 ＝(3，1)，＝(－4，－3)，＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4).答案 A2.(2022·新课标全国Ⅱ，4)已知a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝( )A.－1B.0C.1D.2解析 因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，得(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1，选C.答案 C3.(2022·北京，3)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝( )A.(5，7)B.(5，9)C.(3，7)D.(3，9)解析 因为a＝(2，4)，b＝(－1，1)，所以2a－b＝(2×2－(－1)，2×4－1)＝(5，7)，选A.答案 A4.(2022·广东，3)已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a＝( )A.(－2，1)B.(2，－1)C.(2，0)D.(4，3)解析 由于a＝(1，2)，b＝(3，1)，于是b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)，选B.答案 B5.(2022·广东，3)若向量＝(1，2)，＝(3，4)，则等于( )A.(4，6)B.(－4，－6)C.(－2，－2)D.(2，2)解析 由题＝＋＝(1，2)＋(3，4)＝(4，6).故选A.答案 A6.(2022·天津，8)在△ABC中，A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－2，则λ等于( )A.B.C.D.2解析 建立平面直角坐标系如图，则B(1，0)，C(0，2)，P(λ，0)，Q(0，2(1－λ)).4\n于是由·＝(－1，2(1－λ))·(λ，－2)＝－λ－4(1－λ)＝－2，解得λ＝.故选B.答案 B7.(2022·江苏，6)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________.解析 ∵a＝(2，1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即解得故m－n＝2－5＝－3.答案 －38.(2022·重庆，14)在OA为边，OB为对角线的矩形中，＝(－3，1)，＝(－2，k)，则实数k＝________.解析 因为＝－＝(1，k－1)，且⊥，所以·＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得k＝4.答案 49.(2022·山东，15)在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2，2).若∠ABO＝90°，则实数t的值为________.解析 ∵＝(－1，t)，＝(2，2)，∴＝－＝(－3，t－2).又∵∠ABO＝90°，∴·＝0，即(－3，t－2)·(2，2)＝0，－6＋2t－4＝0，∴t＝5.答案 54
