A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·浙江慈溪余姚模拟)在△ABC中，设三边AB，BC，CA的中点分别为E，F，D，则＋＝( )A.B.C.D.解析 如图，＝(＋)，＝(＋)，所以＋＝.故选A.答案 A2．(2022·广东佛山模拟)如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交其对角线于K，其中，＝，＝，＝λ，则λ的值为( )A.B.C.D.解析 ∵＝，＝，则＝，＝2，由向量加法的平行四边形法则可知，＝＋，∴＝λ＝λ(＋)＝λ＝λ＋2λ，由E，F，K三点共线可得，λ＝，故选A.答案 A3．(2022·福州二模)已知向量a＝(1，1)，b＝(2，x)，若a＋b与a－b平行，则实数x的值是( )A．－2B．0C．1D．25\n解析 由a＝(1，1)，b＝(2，x)，知a＋b＝(3，1＋x)，a－b＝(－1，1－x)．若a＋b与a－b平行，则3(1－x)＋(1＋x)＝0，即x＝2，故选D.答案 D4．(2022·济宁3月模拟)设A，B，C是圆x2＋y2＝1上不同的三个点，且·＝0，若存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，则实数λ，μ的关系为( )A．λ2＋μ2＝1B.＋＝1C．λ·μ＝1D．λ＋μ＝1解析 由＝λ＋μ得||2＝(λ＋μ)2＝λ2||2＋μ2||2＋2λμ·.因为·＝0，所以λ2＋μ2＝1.所以选A.答案 A二、填空题5．(2022·江苏苏州一模)如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．解析 连接AO，则＝(＋)＝＋，∵M、O、N三点共线，∴＋＝1，∴m＋n＝2.答案 2 一年创新演练6．设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则x＋y＝( )A．0B．1C．2D．－2解析 ∵a⊥c，b∥c，∴2x－4＝0，2y＋4＝0，解得x＝2，y＝－2，∴x＋y＝0.故选A.答案 A7．在平面直角坐标系中，已知＝(－1，3)，＝(2，－1)，则||＝________.解析 ＝－＝(2，－1)－(－1，3)＝(3，－4)，∴||＝5.答案 55\nB组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题8．(2022·广东江门质检)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是( )A．1B.C.D．2解析 法一 以O为原点，向量，所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，设，＝θ，θ∈，则＝(1，0)，＝(0，1)，＝(cosθ，sinθ)．由＝x＋y，∴∴x＋y＝cosθ＋sinθ＝sin，θ＋∈，∴x＋y的最大值为.法二 因为点C在以O为圆心的圆弧AB上，所以||2＝|x＋y|2＝x2＋y2＋2xy·＝x2＋y2＝1≥.所以x＋y≤.当且仅当x＝y＝时等号成立．答案 B9．(2022·山东济南一模)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析 作∠BAC的平分线AD.∵＝＋λ，5\n∴＝λ＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，∴＝·，∴∥.∴P的轨迹一定通过△ABC的内心．答案 B10．(2022·菏泽质检)如图，已知AB是圆O的直径，点C、D等分，已知＝a，＝b，则等于( )A．a－b B.a－bC．a＋b D.a＋b解析 连接OC、OD、CD，则△OAC与△OCD为全等的等边三角形，所以四边形OACD为平行四边形，所以＝＋＝＋＝a＋b，故选D.答案 D二、填空题11．(2022·南通模拟)△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，则角C＝________.解析 因为p∥q，则(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，所以a2＋b2－c2＝ab，＝，结合余弦定理知，cosC＝，又0°<C<180°，∴C＝60°.答案 60°12．(2022·微山一中模拟)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，若a∥b，则4x＋8y的最小值为________．解析 ∵a∥b，∴3×(y－1)－(－2)×x＝0，5\n∴2x＋3y＝3.故4x＋8y＝22x＋23y≥2＝2＝4，当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝时等号成立．答案 4一年创新演练13．已知向量，满足||＝||＝1，·＝0，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若M为AB的中点，并且||＝1，则点(λ，μ)在( )A．以为圆心，半径为1的圆上B．以为圆心，半径为1的圆上C．以为圆心，半径为1的圆上D．以为圆心，半径为1的圆上解析 由于M是AB的中点，∴在△AOB中，＝(＋)，∴||＝|－|＝＝1，∴＝1，∴＋＝1，故选D.答案 D14．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，向量a＝(cosC，b－c)，向量b＝(cosA，a)，且a∥b，则tanA＝________．解析 a∥b⇒(b－c)cosA－acosC＝0，即bcosA＝ccosA＋acosC，再由正弦定理得sinBcosA＝sinCcosA＋cosCsinA⇒sinBcosA＝sin(C＋A)＝sinB，即cosA＝，所以sinA＝，tanA＝＝.答案 5
