考点 圆的方程1．(2022·新课标全国Ⅱ，7)已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )A.B.C.D.解析 由点B(0，)，C(2，)，得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，①由点A(1，0)，B(0，)，得线段AB的垂直平分线方程为y－＝，②联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为，其到原点的距离为＝.故选B.答案 B2．(2022·北京，2)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析 圆的半径r＝＝，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.答案 D3．(2022·浙江，5)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )A．－2B．－4C．－6D．－8解析 将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4，故选B.答案 B4．(2022·北京，7)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )A．7B．6C．5D．4解析 若∠APB＝90°，则点P的轨迹是以AB为直径的圆，其方程为x2＋y2＝m2.8\n由题意知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1与圆O：x2＋y2＝m2有公共点，所以|m－1|≤|OC|≤m＋1，易知|OC|＝5，所以4≤m≤6，故m的最大值为6.故选B.答案 B5．(2022·湖南，6)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )A．21B．19C．9D．－11解析 圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆心C2(3，4)，半径r2＝.从而|C1C2|＝＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故选C.答案 C6．(2022·安徽，6)过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )A.B.C.D.解析 过P点作圆的切线PA、PB，连接OP，如图所示．显然，直线PA的倾斜角为0，又OP＝＝2，PA＝，OA＝1，因此∠OPA＝，由对称性知，直线PB的倾斜角为.若直线l与圆有公共点，由图形知其倾斜角的取值范围是.故选D.答案 D7．(2022·新课标全国Ⅱ，12)设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是( )A．[－1，1]B.C．[－，]D.解析 过M作圆O的两条切线MA、MB，切点分别为A、B，若在圆O上存在点N，使∠OMN＝45°，则∠OMB≥∠OMN＝45°，所以∠AMB≥90°，所以－1≤x0≤1，故选A.答案 A8\n8．(2022·安徽，6)直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为( )A．1B．2C．4D．4解析 由圆的一般方程化为圆的标准方程：(x－1)2＋(y－2)2＝5，可知圆心坐标为(1，2)，半径为，圆心到直线的距离为＝1，由勾股定理可得弦长一半为＝2.故弦长为4.答案 C9．(2022·广东，7)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A．x＋y－＝0B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋＝0解析 由于所求切线垂直于直线y＝x＋1，可设所求切线方程为x＋y＋m＝0.由圆心到切线的距离等于半径得＝1，解得m＝±.又由于与圆相切于第一象限，则m＝－.答案 A10．(2022·广东，8)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于( )A．3B．2C.D．1解析 如图所示，设AB的中点为D，则OD⊥AB，垂足为D，连OA.由点到直线的距离得|OD|＝＝1，∴|AD|2＝|OA|2－|OD|2＝4－1＝3，|AD|＝，∴|AB|＝2|AD|＝2.答案 B11．(2022·湖南，13)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝．解析 如图，过O点作OD⊥AB于D点，在Rt△DOB中，∠DOB＝60°，∴∠DBO＝30°，又|OD|＝＝1，∴r＝2|OD|＝2.答案 28\n12．(2022·江苏，10)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．解析 直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r＝＝.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.答案 (x－1)2＋y2＝213．(2022·湖北，16)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.(1)圆C的标准方程为．(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为．解析 (1)由题意，设圆心C(1，r)(r为圆C的半径)，则r2＝＋12＝2，解得r＝.所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝2.(2) 法一 令x＝0，得y＝±1，所以点B(0,＋1)．又点C(1，)，所以直线BC的斜率为kBC＝－1，所以过点B的切线方程为y－(＋1)＝x－0，即y＝x＋(＋1)．令y＝0，得切线在x轴上的截距为－－1.法二 令x＝0，得y＝±1，所以点B(0，＋1)．又点C(1，)，设过点B的切线方程为y－(＋1)＝kx，即kx－y＋(＋1)＝0.由题意，圆心C(1，)到直线kx－y＋(＋1)＝0的距离d＝＝r＝，解得k＝1.故切线方程为x－y＋(＋1)＝0.令y＝0，得切线在x轴上的截距为－－1.答案 (1)(x－1)2＋(y－)2＝2 (2)－－114．(2022·湖北，17)已知圆O：x2＋y2＝1和点A(－2，0)，若定点B(b，0)(b≠－2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则(1)b＝；(2)λ＝．解析 设M(x，y)，则x2＋y2＝1，y2＝1－x2，λ2＝＝＝＝＝－＋.∵λ为常数，∴b2＋b＋1＝0，解得b＝－或b＝－2(舍去)．∴λ2＝－＝，解得λ＝或λ＝－(舍去)．答案 (1)－ (2)8\n15．(2022·重庆，14)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为．解析 圆C：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆心为C(－1，2)，半径为3.因为AC⊥BC，所以圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为，即＝，所以a＝0或6.答案 0或616．(2022·湖北，14)已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：xcosθ＋ysinθ＝1(1＜θ＜)．设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k＝．解析 由题意圆心到该直线的距离为1，而圆半径为＞2，故圆上有4个点到该直线的距离为1.答案 417．(2022·浙江，13)直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于．解析 圆的圆心为(3，4)，半径是5，圆心到直线的距离d＝＝，可知弦长l＝2＝4.答案 418．(2022·天津，12)设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为．解析 ∵l与圆相交所得弦的长为2，∴＝，∴m2＋n2＝≥2|mn|，∴|mn|≤.l与x轴交点A，与y轴交点B，∴S△AOB＝·||||＝·≥×6＝3.答案 319．(2022·新课标全国Ⅰ，20)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；8\n(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.解 (1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，因为l与C交于两点，所以<1.解得<k<.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝，x1x2＝.·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.由题设可得＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.故圆心C在l上，所以|MN|＝2.20．(2022·广东，20)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0化为(x－3)2＋y2＝4，所以圆C1的圆心坐标为(3，0)．(2)设线段AB的中点M(x0，y0)，由圆的性质可得C1M垂直于直线l，设直线l的方程为y＝mx，易知直线l的斜率存在，所以kC1M·m＝－1，y0＝mx0，所以·＝－1，所以x－3x0＋y＝0，即＋y＝，8\n因为动直线l与圆C1相交，所以<2，所以m2<，所以y＝m2x<x，所以3x0－x<x，解得x0>或x0<0，又因为0<x0≤3，所以<x0≤3.所以M(x0，y0)满足＋y＝，即M的轨迹C的方程为＋y2＝.(3)由题意知直线L表示过定点T(4，0)，斜率为k的直线．结合图形，＋y2＝表示的是一段关于x轴对称，起点为按逆时针方向运动到的圆弧．根据对称性，只需讨论在x轴对称下方的圆弧，设P，则kPT＝＝，而当直线L与轨迹C相切时，＝，解得k＝±在这里暂取k＝，因为<，所以kPT<k.结合图形，可得对于x轴对称下方的圆弧，当－≤k≤0或k＝时，直线L与x轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知－≤k≤或k＝±，综上所述：当－≤k≤或k＝±时，直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一交点．21．(2022·新课标全国Ⅰ，20)已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l8\n与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．解 (1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)．由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，故l的方程为y＝－x＋.又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，|PM|＝，所以△POM的面积为.22．(2022·新课标全国Ⅱ，20)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2.在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．解 (1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.从而y2＋2＝x2＋3.故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.(2)设P(x0，y0)，由已知得＝.又P在双曲线y2－x2＝1上，从而得由得此时，圆P的半径r＝.由得此时，圆P的半径r＝.故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.8
