A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·河南信阳模拟)原点必位于圆：x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(a>1)的( )A．内部B．圆周上C．外部D．均有可能解析 把原点坐标代入圆的方程得到(a－1)2>0(a>1)，所以点在圆外，故选C.答案 C2．(2022·河南商丘模拟)已知圆C：(x＋1)2＋y2＝r2与抛物线D：y2＝16x的准线交于A，B两点，且|AB|＝8，则圆C的面积为( )A．5πB．9πC．16πD．25π解析 抛物线的准线方程为x＝－4，而圆心坐标为(－1，0)，所以圆心到直线的距离为3，所以圆的半径为5，故圆面积为25π.答案 D3．(2022·济宁模拟)过点(－2，0)且倾斜角为的直线l与圆x2＋y2＝5相交于M，N两点，则线段MN的长为( )A．2B．3C．2D．6解析 l的方程为x－y＋2＝0，圆心(0，0)到直线l的距离d＝，则弦长|MN|＝2＝2.答案 C4．(2022·北京顺义三模)已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)且被x轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为( )A.＋y2＝B.＋y2＝C．x2＋＝D．x2＋＝解析 由已知圆C圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为π，设圆心(0，a)，半径为r，6\n则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，即a＝±，故圆C的方程为x2＋＝.答案 C二、填空题5．(2022·三门峡二模)两圆相交于两点(1，3)和(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，且m，c均为实数，则m＋c＝________.解析 根据两圆相交的性质可知，两点(1，3)和(m，－1)的中点在直线x－y＋c＝0上，并且过两点的直线与x－y＋c＝0垂直，故有∴m＝5，c＝－2，∴m＋c＝3.答案 3一年创新演练6．已知A(－2，0)，B(0，2)，M，N是圆x2＋y2＋kx＝0(k是常数)上两个不同的点，P是圆上的动点，如果M，N两点关于直线x－y－1＝0对称，则△PAB面积的最大值是( )A．3－B．3＋C．2＋D．2＋解析 因为M，N两点关于直线x－y－1＝0对称，故圆心在直线x－y－1＝0上，则－－1＝0，解得k＝－2，则圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.又直线AB的方程为x－y＋2＝0，所以圆心(1，0)到直线AB的距离为d＝＝，所以圆上的点到直线AB的最远距离为1＋，故△PAB面积的最大值为S＝|AB|＝×2×＝3＋.答案 BB组 专项提升测试三年模拟精选6\n一、选择题7．(2022·河北唐山模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)4＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1解析 设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则代入x＋y＝4得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案 A8．(2022·安徽六校联考)两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则a＋b的最小值为( )A．－6B．－3C．－3D．3解析 两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C1：(x＋a)2＋y2＝4，圆C2：x2＋(y－b)2＝1，所以|C1C2|＝＝2＋1＝3，即a2＋b2＝9.由a2＋b2≥，当且仅当“a＝b”时等号成立，所以(a＋b)2≤2(a2＋b2)，即|a＋b|≤3.所以－3≤a＋b≤3.故a＋b的最小值为－3.答案 C二、填空题9．(2022·河南三市二模)已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．解析 设所求圆的半径是r，依题意得，抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1，0)，则圆C的圆心坐标是(0，1)，6\n圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝1，则r2＝d2＋＝10，故圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10.答案 x2＋(y－1)2＝1010．(2022·青岛一中月考)已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为________．解析 作出可行域D及圆x2＋y2＝4如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α＋β所对的弧长即为所求．易知图中两直线的斜率分别为、－，得tanα＝，tanβ＝－，tanθ＝tan(α－β)＝＝1，得θ＝，得弧长l＝θ·R＝×2＝(R为圆的半径)．答案 三、解答题11．(2022·徐州月考)已知数列{an}，圆C1：x2＋y2－2anx＋2an＋1y－1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆C1与圆C2交于A，B两点且这两点平分圆C2的周长．(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)若a1＝－3，则当圆C1的半径最小时，求出圆C1的方程．(1)证明 由已知，圆C1的圆心坐标为(an，－an＋1)，半径为r1＝，圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝2.又圆C1与圆C2交于A，B两点且这两点平分圆C2的周长，∴|C1C2|2＋r＝r.∴(an＋1)2＋(－an＋1＋1)2＋4＝a＋a＋1，∴an＋1－an＝.∴数列{an}是等差数列．(2)解 ∵a1＝－3，∴an＝n－.则r1＝6\n＝＝.∵n∈N*，∴当n＝2时，r1可取得最小值，此时，圆C1的方程是：x2＋y2＋x＋4y－1＝0.一年创新演练12．已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)．(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；(2)若a＝，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求AC＋BD的最大值．解 (1)由条件知点M在圆O上，所以1＋a2＝4，则a＝±.当a＝，点M为(1，)，kOM＝，k切＝－，此时切线方程为y－＝－(x－1)．即x＋y－4＝0.当a＝－时，点M为(1，－)，kOM＝－，k切＝.此时切线方程为y＋＝(x－1)．即x－y－4＝0.所以所求的切线方程为x＋y－4＝0或x－y－4＝0.(2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d2≥0)，则d＋d＝OM2＝3.又有AC＝2，BD＝2，所以AC＋BD＝2＋2.则(AC＋BD)2＝4(4－d＋4－d＋2)＝4[5＋2]＝4(5＋2)．因为2d1d2≤d＋d＝3，所以dd≤，当且仅当d1＝d2＝时取等号，6\n所以≤，所以(AC＋BD)2≤4×＝40.所以AC＋BD≤2，即AC＋BD的最大值为2.6
