第三节 空间点、线、面的位置关系A组 专项基础测试三年模拟精选选择题1.(2022·眉山市一诊)下列说法错误的是( )A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直C.如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直D.如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行解析 对于D：一个等腰三角形的底放在桌面上，两个腰与桌面所成的角相等，但两腰所在直线不平行.答案 D2.(2022·山西省三诊)已知a，b，c是三条不同的直线，命题“a∥b且a⊥c⇒b⊥c”是真命题，如果把a，b，c中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析 根据题意，可构成四个命题：①面α∥面β，且面α⊥面γ，则面β⊥面γ；②直线a∥面β，且a⊥面γ，则面β⊥面γ；③面α∥面β，且面α⊥直线c，则面β⊥直线c；④面α∥直线b且面α⊥面γ，则直线b⊥面γ，可知①②③为真命题，④中直线b∥面γ也可行.答案 C3.(2022·青岛模拟)关于直线a，b，c以及平面α，β，给出下列命题：①若a∥α，b∥β，则a∥b；②若a∥α，b⊥α，则a⊥b；③若a⊂α，b⊂α，且c⊥a，c⊥b，则c⊥α；④若a⊥α，α∥β，则a⊥β.其中正确的命题是( )A.①②B.②③C.②④D.①④解析 ①a，b位置关系不确定，①错误；②由a∥α，过a作平面β，且α∩β＝l，则a∥l，因为b⊥α，所以b⊥l，从而a⊥b，②正确；③a，b不相交时，不能得到c⊥α，③错误；④根据线面垂直和线线平行的性质知，④正确.答案 C4.(2022·郑州预测)已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是( )A.若a∥b，则α∥β4\nB.若α⊥β，则a⊥bC.若a，b相交，则α，β相交D.若α，β相交，则a，b相交解析 若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面，故D为假命题.答案 D一年创新演练5.已知l，m，n是空间中的三条直线，命题p：若m⊥l，n⊥l，则m∥n；命题q：若直线l，m，n两两相交，则直线l，m，n共面，则下列命题为真命题的是( )A.p∧qB.p∨qC.p∨(綈p)D.(綈p)∧q解析 命题p中，m，n可能平行，还可能相交或异面，所以命题p为假命题；命题q中，当三条直线交于三个不同的点时，三条直线一定共面，当三条直线交于一点时，三条直线不一定共面，所以命题q也为假命题.所以綈p和綈q都为真命题，故p∨(綈q)为真命题，选C.答案 C6.正方体ABCDA1B1C1D1中，AC与A1D所成角的大小是________.解析 在正方体ABCDA1B1C1D1中，连接A1C1，DC1可知AC∥A1C1，则∠DA1C1是AC与A1D所成的角，因为三角形DA1C1是正三角形，所以∠DA1C1＝.答案 B组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题7.(2022·汕头市质检)设l，m是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中正确的是( )A.若l∥α，α∩β＝m，则l∥mB.若l∥α，m⊥l，则m⊥αC.若l∥α，m∥α，则l∥mD.若l⊥α，l∥β，则α⊥β解析 对于A：l与m可能异面，排除A；对于B：m与α可能平行或相交，排除B；对于C：l与m可能相交或异面，排除C；故选D.答案 D8.(2022·黄冈中学检测)设α，β是两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，命题p：若平面α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；命题q：l∥α，m⊥l，m⊂β，则β⊥α，4\n则下列命题为真命题的是( )A.p或qB.p且qC.綈p或qD.p且綈q解析 命题p：l和m可能平行也可能异面，故p为假命题；命题q：α和β可能平行也可能相交，故q为假命题，因此p或q为假，p且q为假，綈p或q为真，p且綈q为假.答案 C9.(2022·深圳二模)对于不重合的两个平面α，β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都平行于γ；②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中，一定能推出α与β平行的条件有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析 ①可以判定α与β平行；②可以推出α与β平行或相交；③不能推出α与β一定平行，如平面α内不共线的三点不在平面β的同一侧时，α与β相交；④一定可以判定α与β平行，∵可在平面α内作l′∥l，m′∥m，则l′与m′必相交.又l∥β，m∥β，∴l′∥β，m′∥β，∴α∥β.故选B.答案 B二、解答题10.(2022·辽宁五校联考)三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1的中点，F是棱AB的中点，AC＝BC＝1，AA1＝2.(1)求证：CF∥平面AEB1；(2)求三棱锥CAB1E的底面AB1E上的高.(1)证明 取AB1的中点G，连接EG，FG，∵F、G分别是AB、AB1的中点，∴FG∥BB1，FG＝BB1.∵E为侧棱CC1的中点，∴FG∥EC，FG＝EC，∴四边形FGEC是平行四边形，∴CF∥EG，∵CF⊄平面AB1E，EG⊂平面AB1E，∴CF∥平面AB1E.(2)解 ∵三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∴BB1⊥平面ABC.又∵AC⊂平面ABC，∴AC⊥BB1，4\n∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵BB1∩BC＝B，∴AC⊥平面EB1C，∴VAEB1C＝S△EB1C·AC＝××1＝，∵AE＝EB1＝，AB1＝，∴S△AB1E＝，∵VCAB1E＝VAEB1C，∴三棱锥CAB1E在底面AB1E上的高为＝.一年创新演练11.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱B1C1的中点，动点P在底面ABCD内，且PA1＝A1E，则点P运动形成的图形是( )A.线段B.圆弧C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分解析 由PA1＝A1E知点P应落在以A1为球心，A1E长为半径的球面上，又知动点P在底面ABCD内，所以点P的轨迹是面ABCD与球面形成的交线上，故为圆弧，所以选B.答案 B12.若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中与AC构成“黄金异面直线对”的直线共有________条.解析 正方体如图，若要出现所成的角为60°的异面直线，则直线为面对角线，与AC构成黄金异面直线对的直线有4条.答案 44
