第二章 函数导数及其应用考点3 函数的性质及其应用两年高考真题演练1.(2022·湖南)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )A．奇函数，且在(0，1)上是增函数B.奇函数，且在(0，1)上是减函数C.偶函数，且在(0，1)上是增函数D．偶函数，且在(0，1)上是减函数2．(2022·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A．y＝cosxB．y＝sinxC．y＝lnxD．y＝x2＋13．(2022·广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A．y＝x＋exB．y＝x＋C．y＝2x＋D．y＝4．(2022·浙江)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有( )A．f(sin2x)＝sinxB．f(sin2x)＝x2＋xC．f(x2＋1)＝|x＋1|D．f(x2＋2x)＝|x＋1|5．(2022·福建)下列函数为奇函数的是( )A．y＝B．y＝|sinx|C．y＝cosxD．y＝ex－e－x6．(2022·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A．y＝B．y＝(x－1)2C．y＝2－xD．y＝log0.5(x＋1)7．(2022·陕西)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的单调递增函数是( )A．f(x)＝xB．f(x)＝x3C．f(x)＝D．f(x)＝3x8．(2022·新课标全国Ⅱ)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是( )A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)51\n9．(2022·重庆)下列函数为偶函数的是( )A．f(x)＝x－1B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－xD．f(x)＝2x＋2－x10．(2022·新课标全国Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数11．(2022·广东)下列函数为奇函数的是( )A．y＝2x－B．y＝x3sinxC．y＝2cosx＋1D．y＝x2＋2x12．(2022·湖南)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A．f(x)＝B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x13．(2022·江苏)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．14．(2022·新课标全国Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．15．(2022·新课标全国Ⅱ)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．考点3 函数的性质及其应用一年模拟试题精练1．(2022·广东惠州模拟)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，1)上单调递减的函数为( )A．y＝B．y＝lgxC．y＝cosxD．y＝x22．(2022·山东临沂模拟)下列函数为偶函数的是( )A．y＝sinxB．y＝ln(－x)C．y＝exD．y＝ln3．(2022·山东日照模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为( )51\nA．4B．－4C．6D．－64．(2022·广东揭阳模拟)已知函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)、f(x－1)都是奇函数，则( )A．f(x)是奇函数B．f(x)是偶函数C．f(x＋5)是偶函数D．f(x＋7)是奇函数5．(2022·辽宁沈阳模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x≤－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1<x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝( )A．335B．338C．1678D．20126．(2022·山东德州模拟)下列函数中，与函数y＝的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A．y＝－B．y＝x2＋2C．y＝x3－3D．y＝log|x|7．(2022·山东潍坊模拟)若函数f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________．8．(2022·山东菏泽模拟)已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件：①对于任意x∈R，都有f(x＋1)＝；②函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称；③对于任意的x1，x2∈[0，1]，且x1<x2，都有f(x1)>f(x2)．则f，f(2)，f(3)从小到大排列是________．9．(2022·杭州七校模拟)已知函数f(x)＝x2＋(x－1)·|x－a|.(1)若a＝－1，解方程f(x)＝1；(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；(3)若a<1且不等式f(x)≥2x－3对一切实数x∈R恒成立，求a的取值范围．考点4 函数的图象及其应用两年高考真题演练51\n1.(2022·浙江)函数f(x)＝cosx(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( )2．(2022·安徽)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A．a>0，b<0，c>0，d>0B．a>0，b<0，c<0，d>0C．a<0，b<0，c>0，d>0D．a>0，b>0，c>0，d<03．(2022·北京)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )A．{x|－1＜x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1}D．{x|－1＜x≤2}4．(2022·安徽)51\n函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A．a>0，b>0，c<0B．a<0，b>0，c>0C．a<0，b>0，c<0D．a<0，b<0，c<05．(2022·新课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )6．(2022·湖北)设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且f(x)>0，对任意a>0，b>0，若经过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线与x轴的交点为(c，0)，则称c为a，b关于函数f(x)的平均数，记为Mf(a，b)．例如，当f(x)＝1(x>0)时，可得Mf(a，b)＝c＝，即Mf(a，b)为a，b的算术平均数．(1)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a，b)为a，b的几何平均数．(2)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a，b)为a，b的调和平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)考点4 函数的图象及其应用一年模拟试题精练1.51\n(2022·贵州七校联盟)已知函数f(x)的图象如右图所示，则f(x)的解析式可以是( )A．f(x)＝ B．f(x)＝C．f(x)＝－1D．f(x)＝x－2．(2022·山东日照模拟)函数f(x)＝的图象大致为( ) 3．(2022·山东菏泽模拟)已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为( )4．(2022·福建福州模拟)定义运算“*”为：a*b＝若函数f(x)＝(x＋1)*x，则该函数的图象大致是( )51\n5．(2022·豫南豫北十校模拟)函数f(x)＝的大致图象是( )6．(2022·山东日照模拟)函数f(x)＝x2－2|x|的大致图象为( )7．(2022·辽宁沈阳模拟)下列四个图中，函数y＝的图象可能是( )8．(2022·安徽马鞍山模拟)函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数，例如：函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；51\n③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数；⑤若f(x)为单函数，则函数f(x)在定义域上具有单调性．其中的真命题是________(写出所有真命题的编号)．51\n考点5 基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数)两年高考真题演练1.(2022·四川)设a，b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2．(2022·天津)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．c＜b＜a3．(2022·陕西)设f(x)＝lnx，0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )A．q＝r＜pB．q＝r＞pC．p＝r＜qD．p＝r＞q4．(2022·山东)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a取值范围是( )A.B．[0，1]C.D．[1,＋∞)5.(2022·山东)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A．a＞1，c＞1B．a＞1，0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1，0＜c＜16．(2022·浙江)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax51\n的图象可能是( )7．(2022·江西)已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f[g(1)]＝1，则a＝( )A．1B．2C．3D．－18．(2022·辽宁)已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则( )A．a>b>cB．a>c>bC．c>a>bD．c>b>a9．(2022·天津)函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为( )A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)10．(2022·天津)设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则( )A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞b＞a11．(2022·浙江)若a＝log43，则2a＋2－a＝________．12．(2022·安徽)lg＋2lg2－＝________．13．(2022·福建)若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．14．(2022·四川)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R)．对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，51\n现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．51\n考点5 基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数)一年模拟试题精练1．(2022·福建五校模拟)若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是( )A．b<a<cB．a<b<cC．c<b<aD．b<c<a2．(2022·山东青岛模拟)已知函数f(x)＝e|lnx|，则函数y＝f(x＋1)的大致图象为( )3．(2022·安徽淮南模拟)设函数y＝x与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )A.B.C.D.4．(2022·广东湛江模拟)已知幂函数f(x)的图象经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1<x2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f(x1)>x2f(x2)；②x1f(x2)<x2f(x1)；③>；④<其中正确结论的序号是( )A．①②B．①③C．②④D．②③5．(2022·浙江协作体模拟)∀α∈，x＝(sinα)logπcosα，y＝(cosα)logπsinα，则x与y的大小关系为( )A．x>yB．x<yC．x＝yD．不确定6．(2022·浙江绍兴模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的最小值是( )51\nA.B．1C.D．27．(2022·辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)＝，则不等式f(x－2)＋f(x2－4)<0的解集为( )A．(－1，6)B．(－6，1)C．(－2，3)D．(－3，2)8．(2022·安徽淮南模拟)对于函数f(x)，g(x)和区间D，如果存在x0∈D，使得|f(x0)－g(x0)|≤1，则称x0是函数f(x)与g(x)在区间D上的“相互接近点”．现给出四对函数：①f(x)＝x2，g(x)＝2x－2；②f(x)＝，g(x)＝x＋2；③f(x)＝lnx，g(x)＝x；④f(x)＝e－x＋1，g(x)＝－.则在区间(0，＋∞)上存在唯一“相互接近点”的是( )A．①③B．③④C．①④D．②④9．(2022·安徽合肥模拟)已知函数f(x)＝则f(2015)＝________．10．(2022·黑龙江模拟)如果对定义在R上的函数f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”．给出下列函数①y＝ex＋x；②y＝x2；③y＝3x－sinx；④f(x)＝以上函数是“H函数”的所有序号为________．11．(2022·浙江湖州模拟)已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)．(1)若f(－1)＝f(2)，且不等式x≤f(x)≤2|x－1|＋1对x∈[0，2]恒成立，求函数f(x)的解析式；(2)若c<0，且函数f(x)在[－1，1]上有两个零点，求2b＋c的取值范围．51\n考点6 函数与方程及函数的应用两年高考真题演练1.(2022·天津)已知函数f(x)＝函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是( )A.B.C.D.2．(2022·陕西)对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )A．－1是f(x)的零点B．1是f(x)的极值点C．3是f(x)的极值D．点(2，8)在曲线y＝f(x)上3．(2022·四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时4．(2022·北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2022年5月1日12350002022年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )A．6升B．8升C．10升D．12升5．(2022·湖南)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.B.C.D.－16．(2022·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，51\n且x0＞0，则a的取值范围是( )A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，－1)7．(2022·湖南)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．8．(2022·安徽)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．9．(2022·湖北)a为实数，函数f(x)＝|x2－ax|在区间[0，1]上的最大值记为g(a)．当a＝________时，g(a)的值最小．10．(2022·北京)设函数f(x)＝①若a＝1，则f(x)的最小值为________；②若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．11．(2022·湖南)已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________．12．(2022·福建)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．51\n考点6 函数与方程及函数的应用一年模拟试题精练1．(2022·黑龙江大庆)已知函数f(x)＝－ax，若<a<，则f(x)零点所在区间为( )A.B.C.D.2．(2022·青岛市模拟)函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是( )A．(0，1)B．(1，2)C．(2，e)D．(3，4)3．(2022·辽宁沈阳模拟)函数f(x)＝lnx＋x3－9的零点所在的区间为( )A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)4．(2022·湖北荆门模拟)对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内( )A．一定有零点B．一定没有零点C．可能有两个零点D．至多有一个零点5．(2022·泰安模拟)设函数f(x)的零点为x1，g(x)＝4x＋2x－2的零点为x2，若|x1－x2|≤0.25，则f(x)可以是( )A．f(x)＝x2－1B．f(x)＝2x－4C．f(x)＝ln(x＋1)D．f(x)＝8x－26．(2022·湖南衡阳模拟)设方程2x＋x＋2＝0和方程log2x＋x＋2＝0的根分别为p和q，设函数f(x)＝(x＋p)·(x＋q)＋2，则( )A．f(2)＝f(0)<f(3)B．f(0)<f(2)<f(3)C．f(3)<f(2)＝f(0)D．f(0)<f(3)<f(2)7．(2022·北京51\n海淀模拟)某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：h)近似满足函数关系：V(t)＝H(H为常数)，其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为v(m3/h).那么瞬时融化速度等于v(m3/h)的时刻是图中的( )A．t1B．t2C．t3D．t48．(2022·北京昌平区模拟)在2022年APEC会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是( )A．32人B．35人C．40人D．45人9．(2022·福建福州模拟)一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m(1≤m≤4且m∈R)个单位的药剂，药剂在血液中的含量y(克)随着时间x(小时)变化的函数关系式近似为y＝m·f(x)，其中f(x)＝(1)若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？(2)若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．51\n考点7 导数的概念、几何意义及定积分两年高考真题演练1．(2022·陕西)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．2．(2022·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．3．(2022·新课标全国Ⅱ)已知曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．4．(2022·湖南)(x－1)dx＝________．5．(2022·山东)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．6．(2022·山东)执行下边的程序框图，输出的T的值为________.7．(2022·广东)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为______________．8．(2022·广东)曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．9．(2022·安徽)若直线l与曲线C满足下列两个条件：(1)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(2)曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①直线l：y＝0在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝x3②直线l：x＝－1在点P(－1，0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)251\n③直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝sinx④直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝tanx⑤直线l：y＝x－1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y＝lnx10．(2022·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.(1)求a；(2)证明：当k＜1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．考点7 导数的概念、几何意义及定积分一年模拟试题精练1．(2022·陕西西安模拟)曲线f(x)＝x3＋x－2在p0处的切线平行于直线y＝4x－1，则p0点的坐标为( )A．(1，0)B．(2，8)C．(1，0)和(－1，－4)D．(2，8)和(－1，－4)2．(2022·四川雅安模拟)曲线f(x)＝在x＝0处的切线方程为( )A．x－y－1＝0B．x＋y＋1＝0C．2x－y－1＝0D．2x＋y＋1＝03．(2022·山东潍坊模拟)已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，f′(x)的图象是( )4．(2022·河南洛阳模拟)曲线y＝(x>0)在点P(x0，y0)处的切线为l.若直线l与x51\n，y轴的交点分别为A，B，则△OAB的周长的最小值为( )A．4＋2B．2C．2D．5＋25．(2022·黑龙江绥化模拟)已知函数f(x)＝xn＋1(x∈N*)的图象与直线x＝1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2013x1＋log2013x2＋…＋log2013x2012的值为( )A．－1B．1－log20132012C．－log20132012D．16．(2022·山东日照模拟)定积分π(16－x2)dx等于( )A.B．52πC.D.7．(2022·江西新余模拟)由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的平面图形的面积为( )A.B．2－ln3C．4＋ln3D．4－ln38．(2022·广东模拟)设球的半径为时间t的函数r(t)，若球的体积以均匀速度增长，则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为________．9．(2022·山东潍坊模拟)若函数f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________．10．(2022·山东日照模拟)由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围成的图形的面积是________．11．(2022·福建龙岩模拟)已知函数f(x)＝ax2＋x＋lnx(a∈R)．(1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；(2)设a＝0，求证：当x>0时，f(x)≤2x－1；(3)若函数y＝f(x)恰有两个零点x1，x2(x1<x2)，求实数a的取值范围．考点8 导数的应用一(单调性与极值)两年高考真题演练51\n1.(2022·福建)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1，则下列结论中一定错误的是( )A．f＜B．f＞C．f＜D．f＞2．(2022·新课标全国Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1，0)D．(0，1)∪(1，＋∞)3．(2022·湖南)若0＜x1＜x2＜1，则( )A．ex2－ex1＞lnx2－lnx1B．ex2－ex1＜lnx2－lnx1C．x2ex1＞x1ex2D．x2ex1＜x1ex24．(2022·新课标全国Ⅱ)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是( )A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)5．(2022·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是( )A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，－1)6．(2022·新课标全国Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件7．(2022·江西)已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)·(b∈R)．(1)当b＝4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间上单调递增，求b的取值范围．51\n51\n考点8 导数的应用一(单调性与极值)一年模拟试题精练1．(2022·江西新余模拟)如图是函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象，则函数g(x)＝lnx＋f′(x)的零点所在的区间是( )A.B．(1，2)C.D．(2，3)2．(2022·河北恒台模拟)设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，n∈N，则f2015(x)＝( )A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx3．(2022·黑龙江绥化模拟)已知函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)＜0成立，若a＝20.2f(20.2)，b＝(ln2)f(ln2)，c＝f，则a，b，c的大小关系是( )A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．a＞c＞b4．(2022·辽宁沈阳模拟)已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋＞0，若a＝f，b＝－2f(－2)，c＝f，则a，b，c的大小关系正确的是( )A．a＜c＜bB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．c＜a＜b5．(2022·辽宁沈阳模拟)对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，定义：设f″(x)是函数y＝f(x)的导数y＝f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心．”请你根据这一发现，函数f(x)＝x3－3x2＋3x＋1对称中心为________．6．(2022·四川乐山模拟)已知函数f(x)＝xex，记f0(x)＝f′(x)，f1(x)＝51\nf′(x0)，…，fn(x)＝fn－1′(x)且x2＞x1，对于下列命题：①函数f(x)存在平行于x轴的切线；②＞0；③f2012′(x)＝xex＋2014ex；④f(x1)＋x2＜f(x2)＋x1.其中正确的命题序号是________(写出所有满足题目条件的序号．)7．(2022·山东潍坊模拟)已知函数f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x，求a的值．(2)讨论函数f(x)的单调区间．考点9 导数的应用二(函数的最值与实际应用)两年高考真题演练1．(2022·北京)已知函数f(x)＝ln.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求证：当x∈(0，1)时，f(x)＞2；(3)设实数k使得f(x)＞k对x∈(0，1)恒成立，求k的最大值．51\n2．(2022·江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型．(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．3．(2022·安徽)设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性．(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x值．51\n考点9 导数的应用二(函数的最值与实际应用)一年模拟试题精练1．(2022·青岛模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋2bx＋c有两个极值点x1，x2，且－1<x1<1<x2<2，则直线bx－(a－1)y＋3＝0的斜率的取值范围是( )A.B.C.D.∪2．(2105·江西新余模拟)设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ|的最小值为( )A．1－ln2B.(1－ln2)C．1＋ln2D.(1＋ln2)3．(2022·山东日照模拟)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)的导函数为f′(x)，对任意x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，则的最大值为________．4．(2022·河北石家庄模拟)已知函数f(x)＝ex－ax－1(a∈R)，其中e为自然对数的底数．(1)若f′(x)＝ex－a对任意x≥0恒成立，求a的取值范围；(2)求证：当n≥2，n∈N时，恒有1n＋4n＋7n＋…＋(3n－2)n<(3n)n.5．(2022·湖北荆州模拟)某公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费，预计每件产品的售价为x(9≤x≤11)元时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品售价为多少元时，分公司一年的利润L最大并求出L的最大值Q(a)．51\n第二章 函数导数及其应用考点3 函数的性质及其应用【两年高考真题演练】1．A [易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)＝ln＝ln，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0，1)上是增函数，故选A.]2．A [由于y＝sinx是奇函数；y＝lnx是非奇非偶函数；y＝x2＋1是偶函数但没有零点；只有y＝cosx是偶函数又有零点．]3．A [令f(x)＝x＋ex，则f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e－1，即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以y＝x＋ex既不是奇函数也不是偶函数，而B、C、D依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A.]4．D [排除法，A中，当x1＝，x2＝－时，f(sin2x1)＝f(sin2x2)＝f(0)，而sinx1≠sinx2，∴A不对；B同上；C中，当x1＝－1，x2＝1时，f(x＋1)＝f(x＋1)＝f(2)，而|x1＋1|≠|x2＋1|，∴C不对，故选D.]5．D [由奇函数定义易知y＝ex－e－x为奇函数，故选D.]6．A [显然y＝是(0，＋∞)上的增函数；y＝(x－1)2在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；y＝2－x＝在x∈R上是减函数；y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上是减函数．故选A.]7．D [根据各选项知，选项C、D中的指数函数满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)．又f(x)＝3x是增函数，所以D正确．]8．D [因为f(x)＝kx－lnx，所以f′(x)＝k－.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x＞1时，f′(x)＝k－≥0恒成立，即k≥在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x＞1，所以0＜＜1，所以k≥1.故选D.]9．D [函数f(x)＝x－1和f(x)＝x2＋x既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A和选项B；选项C中f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，所以f(x)＝2x－2－x为奇函数，排除选项C；选项D中f(x)＝2x＋2－x，则f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)＝2x＋2－x为偶函数，故选D.]10．C 11.A12．A [由偶函数的定义知，A，B为偶函数．A选项，f′(x)＝－在(－∞，0)51\n恒大于0；B选项，f′(x)＝2x在(－∞，0)恒小于0.故选A.]13. [由题可得f(x)<0对于x∈[m，m＋1]恒成立，即解得－<m<0.]14．(－1，3) [由题可知，当－2<x<2时，f(x)>0.f(x－1)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的，若f(x－1)>0，则－1<x<3.]15．3 [因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.]【一年模拟试题精练】1．C [首先y＝cosx是偶函数，且在(0，π)上单减，而(0，1)⊆(0，π)，故y＝cosx满足条件．故选C.]2．D [y＝sinx与y＝ln(－x)都是奇函数，y＝ex为非奇非偶函数，y＝ln为偶函数，故选D.]3．B [由f(x)是定义在R上的奇函数得f(0)＝1＋m＝0⇒m＝－1，f(－log35)＝－f(log35)＝－(3log35－1)＝－4，选B.]4．D5．B [f(x)为周期为6的周期函数，且f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＝f(1)＋f(2)＋335＝338，故选B.]6．B [因为函数y＝为偶函数，且在(－∞，0)上为减函数，故选B.]7．1 [∵f(f(1))＝f(0)＝a3＝1，∴a＝1.]8．f(3)<f<f(2) [由①得f(x＋2)＝f(x＋1＋1)＝＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2.②中因为函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，将函数y＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位即可得y＝f(x)的图象，所以函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称．根据③可知函数f(x)在[0，1]上为减函数，又结合②知，函数f(x)在[1，2]上为增函数．因为f(3)＝f(2＋1)＝f(1)，在区间[1，2]上，1<<2，51\n所以f(1)<f()<f(2)，即f(3)<f<f(2)．]9．解 (1)当a＝－1时，有f(x)＝当x≥－1时，2x2－1＝1，解得：x＝1或x＝－1，当x<－1时，f(x)＝1恒成立，∴方程的解集为：{x|x≤－1或x＝1}．(2)f(x)＝若f(x)在R上单调递增，则有解得：a≥.(3)设g(x)＝f(x)－(2x－3)，则g(x)＝即不等式g(x)≥0对一切实数x∈R恒成立∵a<1，∴当x<a时，g(x)单调递减，其值域为：(a2－2a＋3，＋∞)．∵a2－2a＋3＝(a－1)2＋2≥2，∴g(x)≥0恒成立当x≥a时，∵a<1，∴a<，∴g(x)min＝g＝a＋3－≥0，得－3≤a≤5，∵a<1，∴－3≤a<1，综上：a的取值范围是－3≤a<1.考点4 函数的图象及其应用【两年高考真题演练】1．D [∵f(x)＝cosx，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A，B；当x→π时，f(x)＜0，排除C.故选D.]2．A [由已知f(0)＝d>0，可排除D；其导函数f′(x)＝3ax2＋2bx＋c且f′(0)＝c>0，可排除B；又f′(x)＝0有两不等实根，且x1x2＝＞0，所以a＞0，故选A.]3．C [如图，51\n由图知：f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}．]4．C [由里面图可知－c>0，∴c<0，又当x<－c时，由图象形状可知，a<0且b>0，故选C.]5．B [当点P沿着边BC运动，即0≤x≤时，在Rt△POB中，|PB|＝|OB|tan∠POB＝tanx，在Rt△PAB中，|PA|＝＝，则f(x)＝|PA|＋|PB|＝＋tanx，它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A和C；当点P与点C重合，即x＝时，由上得f＝＋tan＝＋1，又当点P与边CD的中点重合，即x＝时，△PAO与△PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f＝|PA|＋|PB|＝＋＝2，知f＜f，故又可排除D.综上，选B.]6．(1) (2)x [过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线的方程为y－f(a)＝(x－a)，令y＝0得c＝.(1)令几何平均数＝⇒f(a)＋f(b)＝bf(a)＋af(b)，可取f(x)＝(x>0)；(2)令调和平均数＝⇒＝，可取f(x)＝x(x>0)．]【一年模拟试题精练】1．A [由图形可知f(x)为奇函数，故排除B，C；而D中的函数在(0，＋∞)和(－∞，0)上均为增函数，故选A.]2．A [首先由f(x)为奇函数，得图象关于原点对称，排除C、D，又当0<x<π时，f(x)>0知，选A.]3．A [f(x)的定义域为x>0且x≠1，当x∈(0，1)时，f(x)>0且为增函数，当x∈(1，＋∞)时，f(x)<0且为减函数，故选A.]51\n4．D [f(x)＝(x＋1)*x＝故选D.]5．C [由解析式可以得到当x∈(－∞，)时，f(x)<0，x∈(，＋∞)时，f(x)>0，故选C.]6．C [由函数f(x)＝x2－2|x|为偶函数，排除答案B与D；又由f(0)＝－1<0，知选C.]7．C [y＝由函数y＝向左平移一个单位，而y＝为奇函数，所以y＝关于(－1，0)对称，故排除A，D，当x>0时，y＝>0恒成立，故选C.]8．②③④ [根据题意可以得到函数为单调函数，或为常数函数，所以②③④正确．]考点5 基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数)【两年高考真题演练】1．B [若3a＞3b＞3，则a＞b＞1，从而有loga3＜logb3成立；若loga3＜logb3，不一定有a＞b＞1，比如a＝，b＝3，选B.]2．C [因为函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数可知，m＝0，所以f(x)＝2|x|－1，当x＞0时，f(x)为增函数，log0.53＝－log23，∴log25＞|－log0.53|＞0，∴b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)，故选C.]3．C [∵0＜a＜b，∴＞，又∵f(x)＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，故f＞f()，即q＞p.又r＝(f(a)＋f(b))＝(lna＋lnb)＝lna＋lnb＝ln(ab)＝f()＝p.故p＝r＜q.选C.]4．C [当a＝2时，f(a)＝f(2)＝22＝4＞1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝2满足题意，排除A，B选项；当a＝时，f(a)＝f＝3×－1＝1，f(f(a51\n))＝2f(a)，∴a＝满足题意，排除D选项，故答案为C.]5．D [由对数函数的性质得0＜a＜1，因为函数y＝loga(x＋c)的图象在c＞0时是由函数y＝logax的图象向左平移c个单位得到的，所以根据题中图象可知0＜c＜1.]6．D [当a>1时，函数f(x)＝xa(x>0)单调递增，函数g(x)＝logax单调递增，且过点(1，0)，由幂函数的图象性质可知C错；当0<a<1时，函数f(x)＝xa(x>0)单调递增，函数g(x)＝logax单调递减，且过点(1，0)，排除A，因此选D.]7．A [因为f[g(1)]＝1，且f(x)＝5|x|，所以g(1)＝0，即a·12－1＝0，解得a＝1.]8．C [a＝2－∈(0，1)，b＝log2∈(－∞，0)，c＝log＝log23∈(1，＋∞)，所以c>a>b.]9．D [函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y＝logt与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝logt在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．选D.]10．C [利用中间量比较大小．因为a＝log2π∈(1，2)，b＝logπ＜0，c＝π－2∈(0，1)，所以a＞c＞b.]11. [2a＋2－a＝2log43＋2－log43＝2log2＋2log2＝＋＝.]12．－1 [lg＋2lg2－＝lg＋lg22－2＝lg－2＝1－2＝－1.]13．1 [∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的对称轴x＝1，∴a＝1，f(x)＝2|x－1|，∴f(x)的增区间为[1，＋∞)，∵[m，＋∞)⊆[1，＋∞)，∴m≥1.∴m的最小值为1.]14．①④ [设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x1，g(x1))，D(x2，g(x2))，对于①从y＝2x的图象可看出，m＝kAB＞0恒成立，故正确；对于②直线CD的斜率可为负，即n＜0，故不正确；对于③由m＝n得f(x1)－f(x2)＝g(x1)－g(x2)，即f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)，令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x2－ax，则h′(x)＝2x·ln2－2x－a，由h′(x)＝0，∴2x·ln2＝2x＋a，(*)结合图象知，当51\na很小时，方程(*)无解，∴函数h(x)不一定有极值点，就不一定存在x1，x2使f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)，不一定存在x1，x2使得m＝n；对于④由m＝－n，得f(x1)－f(x2)＝g(x2)－g(x1)，即f(x1)＋g(x1)＝f(x2)＋g(x2)，令F(x)＝f(x)＋g(x)＝2x＋x2＋ax，则F′(x)＝2xln2＋2x＋a，由F′(x)＝0，得2xln2＝－2x－a，结合如图所示图象可知，该方程有解，即F(x)必有极值点，∴存在x1，x2使F(x1)＝F(x2)，使m＝－n.故①④正确．]【一年模拟试题精练】1．D [b＝log32∈(0，1)，而a>c>1，故选D.]2．D [f(x)＝e|lnx|＝而函数y＝f(x＋1)的图象由函数f(x)＝e|lnx|向左平移了一个单位，故选D.]3．B [构造函数f(x)＝x－，从而转化为函数的零点的问题，因为f·f<0，所以在存在零点，故选B.]4．D 5.C 6.C7．D [因为函数f(x)＝为奇函数且增函数，所以不等式f(x－2)＋f(x2－4)<0可化为f(x2－4)<f(2－x)，所以x2－4<2－x，则－3<x<2，故选D.]8．A9．2 [由题意知当x>0时，f(x)为周期函数且周期为4，故f(2015)＝f(－1)＝＝2.]10．②③ [∵对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，∴不等式等价为(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的增函数．①函数y＝ex＋x在定义域上为增函数，满足条件．②函数y＝x2在定义域上不单调，不满足条件．51\n③y＝3x－sinx，y′＝3－cosx>0，函数单调递增，满足条件．④f(x)＝当x>0时，函数单调递增，当x<0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H函数”的函数为②③，故答案为：②③.]11．解 (1)因为f(－1)＝f(2)，所以b＝－1，因为当x∈[0，2]，都有x≤f(x)≤2|x－1|＋1，所以有f(1)＝1，即c＝1，所以f(x)＝x2－x＋1；(2)法一 因为f(x)在[－1，1]上有两个零点，且c<0，所以有⇒通过线性规划可得－2<2b＋c<2.法二 设f(x)的两个零点分别为x1，x2，所以f(x)＝(x－x1)(x－x2)，不妨设x1∈[－1，0)，x2∈(0，1]．因为f(2)＝(2－x1)(2－x2)，且2－x1∈(2，3]，2－x2∈[1，2)，所以f(2)∈(2，6)，所以－2<2b＋c<2.考点6 函数与方程及函数的应用【两年高考真题演练】1．D [记h(x)＝－f(2－x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图，直线AB：y＝x－4，当直线l∥AB且与f(x)的图象相切时，由解得b′＝－，－－(－4)＝，51\n所以曲线h(x)向上平移个单位后，所得图象与f(x)的图象有四个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当＜b＜2时，f(x)与g(x)的图象有四个不同的交点，即y＝f(x)－g(x)恰有4个零点．选D.]2．A [A正确等价于a－b＋c＝0，①B正确等价于b＝－2a，②C正确等价于＝3，③D正确等价于4a＋2b＋c＝8.④下面分情况验证，若A错，由②、③、④组成的方程组的解为符合题意；若B错，由①、③、④组成的方程组消元转化为关于a的方程后无实数解；若C错，由①、②、④组成方程组，经验证a无整数解；若D错，由①、②、③组成的方程组a的解为－也不是整数．综上，故选A.]3．C [由题意知∴e22k＝＝，∴e11k＝，∴x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝×192＝24.]4．B [由表知：汽车行驶路程为35600－3500＝600千米，耗油量为48升，∴每100千米耗油量8升．]5．D [设年平均增长率为x，原生产总值为a，则a(1＋p)(1＋q)＝a(1＋x)2，解得x＝－1，故选D.]6．C7．(0，2) [令y＝|2x－2|，作出其图象如图：由图形知，当0＜b＜2时，f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．]51\n8．－ [∵|x－a|≥0恒成立，∴要使y＝2a与y＝|x－a|－1只有一个交点，必有2a＝－1，解得a＝－.]9．2－2 [①当a≤0时，f(x)＝|x2－ax|在[0，1]上是增函数，所以g(a)＝f(1)＝1－a，此时g(a)min＝1；②当0<a<2时，作出函数f(x)＝|x2－ax|的大致图象如图：由图易知，f(x)＝|x2－ax|在上是增函数，在上是减函数，在[a，1]上是增函数，此时，只需比较f与f(1)的大小即可．由f＝f(1)，得＝|1－a|，得＝|1－a|，解得a＝2－2或a＝－2－2(舍)或a＝2(舍去)．(ⅰ)当0<a≤2－2时，f≤f(1)，所以g(a)＝f(1)＝1－a，此时g(a)min＝3－2；(ⅱ)当2－2<a<2时，f>f(1)，所以g(a)＝f＝，此时3－2<g(a)<1；③当a≥2时，f(x)＝|x2－ax|在[0，1]上是增函数，所以g(a)＝f(1)＝a－1，此时g(a)min＝1.综上，当a＝2－2时，g(a)min＝3－2.]10．①－1 ②∪[2，＋∞) [①当a＝1时，f(x)＝当x<1时，2x－1>－1.当x≥1时，且当x＝时，f(x)min＝f＝－1，∴f(x)最小值为－1.②1°当a≤0时，2x－a>0，51\n由4(x－a)(x－2a)＝0得x＝a或x＝2a.a∉[1，＋∞)，2a∉[1，＋∞)，∴此时f(x)无零点．2°当0<a<1时，若有2个零点，只须∴≤a<1.3°当1≤a<2时，x＜1，2x＝a，x＝log2a∈[0，1)，x≥1时，由f(x)＝0，得x＝a或2a，a∈[1，＋∞)．2a∈[1，＋∞)，有3个零点，不合题意．4°当a≥2时，x<1，则2x－a<0，x≥1时，由f(x)＝0，得x＝a或2a，a，2a∈[1，＋∞)，此时恰有2个零点，综上≤a＜1或a≥2.]11．(－∞，0)∪(1，＋∞) [若0≤a≤1时，函数f(x)＝在R上递增，若a＞1或a＜0时，由图象知y＝f(x)－b存在b使之有两个零点，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．]12．160【一年模拟试题精练】1．C [根据零点存在性定理，f·f<0，故选C.]2．B [利用零点存在性定理得到f(1)·f(2)＝(ln2－2)·(ln3－1)<0，故选B.]3．C [利用零点存在性定理得到f(3)·f(2)<0，故选C.]4．C [利用排除法，f(a)·f(b)<0是函数f(x)在区间(a，b)内有零点的充分不必要条件，故选C.]5．D [因为g(x)＝4x＋2x－2，而g＝＋－2<0，g＝1>0，故x2∈，而函数f(x)＝8x－2的零点为，故选D.]6．A [∵方程2x＋x＋2＝0和方程log2x＋x＋2＝0的根分别为函数y＝2x，y＝log2x与直线y＝－x－2的交点横坐标，而函数y＝2x，y＝log2x互为反函数，其图象关于y＝x对称，又直线y＝－x－2与直线y＝x垂直，且两直线的交点坐标为(－1，－1)，∴p＋q＝－2，则f(x)＝x2＋(p＋q)x＋pq＋2＝x2－2x＋pq＋2，∵该二次函数的对称轴为x＝1，∴f(2)＝f(0)<f(3)．故选A.]51\n7．C [平均融化速度为v＝，反映的是V(t)图象与坐标交点连线的斜率，观察可知t3处瞬时速度(即切线的斜率)为平均速速一致，故选C.]8．B [设旅行团的人数为x人，每张机票收费为m元，旅行社获得的机票利润为y，当1≤x≤30且x∈N时，m＝800，ymax＝800×30－12000＝12000，当30<x≤45且x∈N时，m＝800－20(x－30)＝1400－20x，则y＝(1400－20x)x－12000＝－20x2＋1400x－12000，对应的抛物线开口向下，因为x∈N，所以当x＝－＝35，函数取得最大值．所以当旅行团人数为35人时，旅行社可获得最大利润．故选B.]9．解 法一 (1)因为m＝3，所以y＝当0≤x<6时，由≥2，解得x≤11，此时0≤x<6；当6≤x≤8时，由12－≥2，解得x≤，此时6≤x≤.综上所述，0≤x≤.故若用一次服用3个单位的药剂，则有效治疗的时间可达小时．(2)当6≤x≤8时，y＝2×(4－x)＋m[]＝8－x＋，因为8－x＋≥2对6≤x≤8恒成立，即m≥对6≤x≤8恒成立，等价于m≥，(6≤x≤8)．51\n令g(x)＝，则函数g(x)＝在[6，8]上是单调递增函数，当x＝8时，函数g(x)＝取得最大值为.所以m≥，所以所求的m的最小值为.法二 (1)同法一；(2)当6≤x≤8时，y＝2×＋m[]＝8－x＋，注意到y1＝8－x及y2＝(1≤m≤4且m∈R)均关于x在[6，8]上单调递减，则y＝8－x＋关于x在[6，8]上单调递减，故y≥8－8＋＝，由≥2，得m≥，所以所求的m的最小值为.考点7 导数的概念、几何意义及定积分【两年高考真题演练】1．(1，1) [∵(ex)′＝e0＝1，设P(x0，y0)，有′＝－＝－1，又∵x0＞0，∴x0＝1，故P的坐标为(1，1)．]2．1 [f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2.(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1)．将(2，7)代入切线方程，得7－(a＋2)＝(1＋3a)，解得a＝1.]3．8 [由y＝x＋lnx，得y′＝1＋，得曲线在点(1，1)的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，此切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y得ax2＋ax＋2＝0，得a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.]4．0 [(x－1)dx＝0＝×22－2＝0.]5. [51\n曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形如图，由得A(1，1)，面积S＝xdx－x2dx＝x20＝－＝.]6. [当n＝1时，T＝1＋x1dx＝1＋0＝1＋＝；当n＝2时，T＝＋x2dx＝＋0＝＋＝；当n＝3时，结束循环，输出T＝.]7．5x＋y＋2＝08．5x＋y－3＝09．①③④10．(1)解 f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线方程为y＝ax＋2.由题设得－＝－2，所以a＝1.(2)证明 由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.由题设知1－k＞0.当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k＞0，g(x)上单调递增，g(－1)＝k－1＜0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]上有唯一实根．当x＞0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，则g(x)＝h(x)＋(1－k)x＞h(x)．h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以g(x)＞h(x)≥h(2)＝0.所以g(x)＝0在(0，＋∞)上没有实根．综上，g(x)＝0在R上有唯一实根，即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．【一年模拟试题精练】1．C [设p0(x0，y0)，则3x＋1＝4，所以x＝1，所以p0点的坐标为(1，0)和(－1，－4)．故选C.]2．D [因为f′(x)＝，所以f′(0)＝－2，故在x＝0处的切线方程为2x＋y＋1＝0，故选D.]3．A [因为f(x)＝x2＋sin＝x2＋cosx，所以f′(x)＝x－sinx为奇函数，51\n且f′<0，故选A.]4．A5．A [f′(x)＝(n＋1)xn，f(1)＝1，∴P(1，1)，k＝f′(1)＝n＋1，∴切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)与x轴相交，∴xn＝，∴log2013x1＋log2013x2＋…＋log2013x2012＝log2013(x1x2…x2012)＝log2013＝log2013＝－1.]6．A [π(16－x2)dx＝π＝64π－＝，故选A.]7．D8．1 [设球的体积以均匀速度c增长，由题意可知球的体积为V(t)＝πR3(t)，则c＝4πR2(t)R′(t)，则＝4πR(t)，则球的表面积的增长速度为V表＝S′(t)＝(4πR2(t))′＝8πR(t)R′(t)＝即球的表面积的增长速度与球的半径的乘积为V表·R(t)＝2c＝1.]9．1 [由题意知f(x)＝＝所以f(1)＝0，f(f(1))＝f(0)＝a3＝1，所以a＝1.]10．2ln2 [由定积分的几何意义，得围成的面积∫2dx＝lnx＝ln2－ln＝ln4＝2ln2.]11．(1)解 当a＝1时，f(x)＝x2＋x＋lnx，f′(x)＝2x＋1＋，∴f(1)＝2，f′(1)＝4，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－2＝4(x－1)即4x－y－2＝0.(2)证明 当a＝0时，设g(x)＝f(x)－(2x－1)＝lnx－x＋1(x>0)，则g′(x)＝－1＝51\n，当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0.因此，函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上是单调递减得g(x)≤gmax(x)＝g(1)＝0，即f(x)≤2x－1.(3)解 由f(x)＝ax2＋x＋lnx(x>0)得f′(x)＝2ax＋1＋＝.当a≥0时f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上是单调递增，因此函数f(x)至多只有一个零点，不符合题意．当a<0时，由2ax2＋x＋1＝0得x3＝>0，因此，f(x)在(0，x3)上是单调递增，在(x3，＋∞)上是单调递减，所以fmax(x)＝f(x3)．一方面，当x从右边趋近于0时，f(x)→－∞；当x→＋∞时，f(x)＝ax2＋x＋lnx≤ax2＋x＋x－1＝ax2＋2x－1(a<0)，因此，f(x)→－∞，另一方面，由f′(x3)＝0得2ax＋x3＋1＝0，即ax＝－，因此，f(x3)＝ax＋x3＋lnx3＝－＋x3＋lnx3＝，很明显f(x3)在(0，＋∞)上是单调递增且f(1)＝0，根据题意得f(x3)>0＝f(1)，∴x3>1即方程2ax2＋x＋1＝0有且只有一个大于1的正实数根．设h(x)＝2ax2＋x＋1，由a<0且h(0)＝1>0，得h(1)>0解得a>－1，所以，实数a的取值范围是(－1，0)．8．导数的应用一(单调性与极值)【两年高考真题演练】1．C [∵导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1，∴f′(x)－k＞0，k－1＞0，＞0，可构造函数g(x)＝f(x)－kx，可得g′(x)＞0，故g(x)在R上为增函数，∵f(0)＝－1，∴g(0)＝－1，∴g＞g(0)，∴f－＞－1，∴f＞，∴选项C错误，故选C.]2．A [因为f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，所以f(1)＝－f(－1)＝0.当x≠0时，51\n令g(x)＝，则g(x)为偶函数，且g(1)＝g(－1)＝0.则当x＞0时，g′(x)＝′＝＜0，故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0＜x＜1时，g(x)＞g(1)＝0⇔＞0⇔f(x)＞0；在(－∞，0)上，当x＜－1时，g(x)＜g(－1)＝0⇔＜0⇔f(x)＞0.综上，得使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，选A.]3．C 4.D5．C [由题意知f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)，当a＝0时，不满足题意．当a≠0时，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝，当a＞0时，f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减．又f(0)＝1，此时f(x)在(－∞，0)上存在零点，不满足题意；当a＜0时，f(x)在，(0，＋∞)上单调递减，在上单调递增，要使f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则需f＞0，即a×－3×＋1＞0，解得a＜－2，故选C.]6．C [设f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题．故选C.]7．解 (1)当b＝4时，f′(x)＝，由f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x＝－2处取极小值f(－2)＝0，在x＝0处取极大值f(0)＝4.(2)f′(x)＝，因为当x∈时，<0，依题意，当x∈时，有5x＋(3b－2)≤0，从而＋(3b－2)≤0.所以b的取值范围为.【一年模拟试题精练】51\n1．C [函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象得0＜b＜1，f(1)＝0，从而－2＜a＜－1，而g(x)＝lnx＋f′(x)在定义域内单调递增，g＝ln＋1＋a＜0，g(1)＝ln1＋2＋a＝2＋a＞0，∴函数g(x)＝lnx＋f′(x)的零点所在的区间是；故选C.]2．D [f0(x)＝sinxf1(x)＝f0′(x)＝cosxf2(x)＝f1′(x)＝－sinxf3(x)＝f2′(x)＝－cosxf4(x)＝f3′(x)＝sinx…由上面可以看出，以4为周期进行循环．所以f2015(x)＝f3(x)＝－cosx，故选D.]3．B [∵函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，∴函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，是偶函数．令g(x)＝xf(x)，g(x)为奇函数则当x∈(－∞，0)时，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)＜0，∴函数g(x)在x∈(－∞，0)上为减函数．因此函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减．∵log＝2＞20.2＞1＞ln2＞0.∴c＜a＜b.故选B.]4．A [设h(x)＝xf(x)，∴h′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，∵y＝f(x)是定义在实数集R上的奇函数，∴h(x)是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h′(x)＝f(x)＋x·f′(x)＞0，∴此时函数h(x)单调递增．∵a＝f＝h，b＝－2f(－2)＝2f(2)＝h(2)，c＝f＝h＝h(－ln2)＝h(ln2)，又2＞ln2＞，∴b＞c＞a.故选A.]5．(1，2) [∵函数f(x)＝x3－3x2＋3x＋1，∴f′(x)＝3x2－6x＋3，∴f″(x)＝6x－6.令f″(x)＝6x－6＝0，解得x＝1，且f(1)＝2，故函数f(x)＝x3－3x2＋3x对称中心为(1，2)，故答案为(1，2)．]6．①③51\n7．解 (1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f′(x)＝令g(x)＝x2－4x－4a，由于Δ＝16＋16a＝16(a＋1)，当a＝－1时，Δ＝0，g(x)≥0，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＜－1时，Δ＜0，g(x)＞0，f′(x)＞0恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞－1时，Δ＞0.设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，则x1＝2－2，x2＝2＋2.若－1＜a＜0时，x1＝2－2＞0，x2＞0.所以，x∈(0，x1)时，g(x)＞0，f(x)＞0，函数f(x)单调递增，x∈(x1，x2)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．若a≥0时，x1＝2－2≤0，x2＞0.所以，x∈(0，x2)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞0，f(x)＞0，函数f(x)单调递增．综上可得，当a≤－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当－1＜a＜0时，函数f(x)在(0，2－2)上单调递增，在(2－2，2＋2)上单调递减，在(2＋2，＋∞)上单调递增；当a≥0时，函数f(x)在(0，2＋2)上单调递减，在(2＋2，＋∞)上单调递增．51\n考点9 导数的应用二(函数的最值与实际应用)【两年高考真题演练】1．(1)解 因为f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，所以f′(x)＝＋，f′(0)＝2.又因为f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x.(2)证明 令g(x)＝f(x)－2，则g′(x)＝f′(x)－2(1＋x2)＝.因为g′(x)>0(0<x<1)，所以g(x)在区间(0，1)上单调递增．所以g(x)>g(0)＝0，x∈(0，1)，即当x∈(0，1)时，f(x)>2.(3)解 由(2)知，当k≤2时，f(x)>k对x∈(0，1)恒成立．当k>2时，令h(x)＝f(x)－k，则h′(x)＝f′(x)－k(1＋x2)＝.所以当0<x<时，h′(x)<0，因此h(x)在区间上单调递减．当0<x<时，h(x)<h(0)＝0，即f(x)<k.所以当k>2时，f(x)>k并非对x∈(0，1)恒成立．综上可知，k的最大值为2.2．解 (1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．51\n将其分别代入y＝，得解得(2)①由(1)知，y＝(5≤x≤20)，则点P的坐标为，设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，y′＝－，则l的方程为y－＝－(x－t)，由此得A，B.故f(t)＝＝，t∈[5，20]．②设g(t)＝t2＋，则g′(t)＝2t－.令g′(t)＝0，解得t＝10.当t∈(5，10)时，g′(t)＜0，g(t)是减函数；当t∈(10，20)时，g′(t)＞0，g(t)是增函数．从而，当t＝10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝15.答：当t＝10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．3．解 (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝，x1＜x2.所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)．当x＜x1或x＞x2时，f′(x)＜0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)内单调递减，在(x1，2)内单调递增．(2)因为a＞0，所以x1＜0，x2＞0.①当a≥4时，x2≥1.由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增．51\n所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a＜4时，x2＜1.由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减．所以f(x)在x＝x2＝处取得最大值．又f(0)＝1，f(1)＝a，所以当0＜a＜1时，f(x)在x＝1处取得最小值；当a＝1时，f(x)在x＝0处和x＝1处同时取得最小值；当1＜a＜4时，f(x)在x＝0处取得最小值．【一年模拟试题精练】1．A [求导数可得：f′(x)＝x2＋2ax＋2b，∵f(x)有两个极值点x1，x2，∴f′(x)有两个零点，∵－1<x1<1<x2<2，∴－1<－a<2，∴－2<a<1①又f′(－1)＝－2a＋2b＋1>0，即2a－2b－1<0，②f′(1)＝2a＋2b＋1<0，③f′(2)＝4a＋2b＋4>0，即2a＋b＋2>0.④在坐标系aOb中，满足①②③④的可行域如图所示直线bx－(a－1)y＋3＝0的斜率k＝，表示可行域中动点M(a，b)与定点D(1，0)连线的斜率，由可得此时与定点D(1，0)连线的斜率为＝－.由可得，此时与定点D(1，0)连线的斜率为＝.∴直线bx－(a－1)y＋3＝0的斜率的取值范围是故选A.]2．B [函数y＝ex和函数y＝ln(2x)互为反函数图象关于y＝x对称．则只有直线PQ51\n与直线y＝x垂直时|PQ|才能取得最小值．设P，则点P到直线y＝x的距离为d＝，令g(x)＝ex－x，(x>0)，则g′(x)＝ex－1，令g′(x)＝ex－1>0得x>ln2；令g′(x)＝ex－1<0得0<x<ln2，则g(x)在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增．则x＝ln2时，g(x)min＝eln2－ln2＝1－ln2>0，所以dmin＝.则|PQ|＝2dmin＝(1－ln2)．故B正确．]3．2－2 [由题意得f′(x)＝2ax＋b，由f(x)≥f′(x)得：ax2＋(b－2a)x＋c－b≥0在R上恒成立，等价于a>0且Δ≤0，可解得b2≤4ac－4a2＝4a(c－a)，则：≤＝，令t＝－1，(t>0)，y＝＝≤＝2－2故最大值为2－2.]4．(1)解 f′(x)＝ex－a.①当a≤1时，f′(x)＝ex－a≥0对∀x≥0恒成立，即f(x)在(0，＋∞)为单调递增函数；又f(0)＝0，即f(x)≥f(0)＝0对∀x≥0恒成立.②当a>1时，令f′(x)＝0，得x＝lna>0.当x∈(0，lna)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．若f(x)≥0对任意x≥0恒成立，则只需f(x)min＝f(lna)＝elna－alna－1＝a－alna－1≥0.又g(a)＝a－alna－1(a>1)，g′(a)＝1－lna－1＝－lna<0，即g(a)在区间(1，＋∞)上单调递减；又注意到g(1)＝0.故g(a)<0在区间(1，＋∞)上恒成立．即a>1时，满足a－alna－1≥0的a不存在．综上：a≤1.(2)证明 当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，f′(x)＝ex－1，易得f(x)min＝f(0)＝0，51\n即ex≥x＋1对任意x∈R恒成立．取x＝－(i＝1，2，…，n)，有1－≤e－，即≤(e－)n＝e－.相加即得：＋＋…＋≤e－＋e－＋…＋e－.即＋＋…＋＝＋＋…＋≤e－＋e－＋…＋e－.故(3n－2)n＋(3n－5)n＋…＋1n≤e－＋e－＋…＋e－(3n)n＝e－(3n)n<(3n)n，即n≥2，n∈N时，恒有1n＋4n＋7n＋…＋(3n－2)n<(3n)n.5．解 (1)L(x)＝(x－3－a)(12－x)2(9≤x≤11)(2)L(x)＝(x－3－a)(x－12)2L′(x)＝(x－12)2＋2(x－3－a)(x－12)＝(x－12)[x－12＋2x－6－2a]＝(x－12)(3x－18－2a)令L′(x)＝0，又9≤x≤11，∴x＝＝6＋a，而3≤a≤5.当3≤a≤时，6＋a≤9.L′(x)<0，∴L(x)在[9，11]上是减函数，∴L(x)max＝L(9)＝54－9a，当<a≤5时，9<6＋a<11，x∈时，L′(x)≥0，L(x)在上是增函数．51\nx∈时，L′(x)≤0，L(x)在上是减函数．∴L(x)max＝L＝4，综上：Q(a)＝L(x)max＝51
