第五章 数列考点15 等差数列两年高考真题演练1.(2022·重庆)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝( )A．－1B．0C．1D．62．(2022·北京)设{an}是等差数列，下列结论中正确的是( )A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2＞D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞03．(2022·浙江)已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则( )A．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞04．(2022·陕西)原命题为“若＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假5．(2022·辽宁)设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则( )A．d<0B．d>0C．a1d<0D．a1d>06．(2022·广东)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________．7．(2022·江西)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．8．(2022·北京)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．9．(2022·湖北)已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．26\n考点15 等差数列一年模拟试题精练1．(2022·云南省昆明模拟)已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10＝S4，则等于( )A．4B．5C．8D．102．(2022·北京西城模拟)已知正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2，2a＝a＋a(n≥2)，则a6等于( )A．16B．8C．2D．43．(2022安徽安庆模拟)已知数列{an}是等差数列，a1＝tan225°，a5＝13a1，设Sn为数列{(－1)nan}的前n项和，则S2014＝( )A．2015B．－2015C．3021D．－30224．(2022·乌鲁木齐模拟)设{an}是公差不为零的等差数列，a2＝2，且a1，a3，a9成等比数列，则数列{an}的前n项和Sn＝( )A.＋B.＋C.＋D.＋5．(2022·江西四县模拟)已知数列{an}是等差数列，且a1∈[0，1]，a2∈[1，2]，a3∈26\n[2，3]，则a4的取值范围为( )A．[3，4]B.C.D．[2，5]6．(2022·四川德阳模拟)在数列{an}中，已知a1＝－20，an＋1＝an＋4(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式和前n项和An；(2)若bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项Sn.7．(2022·河北衡水模拟)已知等差数列{an}中，a2＋a6＝6,Sn为其前n项和，S5＝.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Sn<m对一切n∈N*成立，求最小正整数m.26\n考点16 等比数列两年高考真题演练1.(2022·新课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )A．21B．42C．63D．842．(2022·福建)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于( )A．6B．7C．8D．93．(2022·北京)设{an}是公比为q的等比数列．则“q>1”是“{an}为递增数列”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．(2022·重庆)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列5．(2022·安徽)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．6．(2022·湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________．7．(2022·江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．8．(2022·安徽)如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2.过点A作BC的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，依此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________.9．(2022·广东)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________．10．(2022·江西)已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.26\n(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.26\n考点16 等比数列一年模拟试题精练1．(2022·山东日照模拟)设数列{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2·a4＝1，S3＝7，则S5＝( )A.B.C.D.2．(2022·湖北八校模拟)已知实数等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论中一定成立的是( )A．若a3＞0，，则a2013＜0B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2013＞0D．若a4＞0，则S2014＞03．(2022·青岛模拟)已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，其公比q≠1且bi＞0(i＝1，2，…，n)，若a1＝b1，a11＝b11，则( )A．a6＞b6B．a6＝b6C．a6＜b6D．a6＜b6或a6＞b64．(2022·江西赣州模拟)在公比大于1的等比数列{an}中，a3a7＝72，a2＋a8＝27，则a12＝( )A．96B．64C．72D．485．(2022·湖南常德模拟)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝( )A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)C.(1－4－n)D.(1－2－n)6．(2022·甘肃一模)抛物线x2＝y在第一象限内图象上一点(ai，2a)处的切线与x轴交点的横坐标记为ai＋1，其中i∈N*，若a2＝32，则a2＋a4＋a6＝( )A．64B．42C．32D．217．(2022·江苏宿迁模拟)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则等于________．8．(2022·安徽安庆模拟)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足a＝4Sn＋4n＋1，n∈N*，且a2，a5，a14恰好是等比数列{bn}的前三项．26\n(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)记数列{bn}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，k≥3n－6恒成立，求实数k的取值范围．9．(2022·山东济南模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋1＋2p(n∈N*)．(1)求p的值及数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足＝(3＋p)anbn，求数列{bn}的前n项和Tn.考点17 数列求和两年高考真题演练1．(2022·天津)已知数列{an}满足an＋2＝qan(q为实数，且q≠1)，n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列．(1)求q的值和{an}的通项公式；(2)设bn＝，n∈N*，求数列{bn}的前n项和．26\n2．(2022·湖南)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．3．(2022·大纲全国)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.4．(2022·四川)设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)．26\n(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Tn.考点17 数列求和一年模拟试题精练1．(2022·山东菏泽一模)已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，且对任意的n∈N*，都有a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝n·2n＋3.(1)若{bn}的首项为4，公比为2，求数列{an＋bn}的前n项和Sn；(2)若an＝4n＋4，试探究：数列{bn}中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它r(r∈N，r≥2)项的和？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由．2．(2022·山东潍坊一模)已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋n2－1，数列{bn}满足3n·bn＋1＝(n＋1)an＋1－nan，且b1＝3.(1)求an，bn；(2)设Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn，并求满足Tn<7时n的最大值．3．(2022·山东烟台一模)已知数列{an}前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn成等差数列．26\n(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}满足bn＝(log2a2n＋1)×(log2a2n＋3)，求证：＋＋＋…＋＜.4．(2022·广东江门模拟)设数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋＜.26\n考点18 数列的综合应用两年高考真题演练1．(2022·湖北)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.2．(2022·湖南)已知数列{an}满足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*.(1)若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；(2)若p＝，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．3．(2022·浙江)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an＝()bn(n∈N*)．若{an}为等比数列，且a1＝2，b3＝6＋b2.(1)求an与bn；26\n(2)设cn＝－(n∈N*)．记数列{cn}的前n项和为Sn.①求Sn；②求正整数k，使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn.考点18 数列的综合应用一年模拟试题精练1．(2022·江西重点中学联盟模拟)数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝2x＋1上，其中n∈N*.(1)若数列{an}是等比数列，求实数t的值；(2)设各项均不为0的数列{cn}中，所有满足ci·ci＋1<0的整数i的个数称为这个数列{cn}的“积异号数”，令cn＝(n∈N*)，在(1)的条件下，求数列{cn}的“积异号数”．26\n2．(2022·广东广州一模)已知等差数列{an}的首项为10，公差为2，等比数列{bn}的首项为1，公比为2，n∈N*.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)设第n个正方形的边长为cn＝min{an，bn}，求前n个正方形的面积之和Sn.(注：min{a，b}表示a与b的最小值．)26\n第五章 数列考点15 等差数列【两年高考真题演练】1．B [由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，故选B.]2．C [A，B选项易举反例，C中若0＜a1＜a2，∴a3＞a2＞a1＞0，∵a1＋a3>2，又2a2＝a1＋a3，∴2a2>2，即a2>成立．]3．B [∵a3，a4，a8成等比数列，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，整理得a1＝－d，∴a1d＝－d2＜0，又S4＝4a1＋d＝－，∴dS4＝－＜0，故选B.]4．A [从原命题的真假入手，由于＜an⇔an＋1＜an⇔{an}为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.]5．C [{2a1an}为递减数列，可知{a1an}也为递减数列，又a1an＝a＋a1(n－1)d＝a1dn＋a－a1d，故a1d<0，故选C.]6．10 [因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.]7. [由题意知当d＜0时，Sn存在最大值，∵a1＝7＞0，∴数列{an}中所有非负项的和最大．又∵当且仅当n＝8时，Sn取最大值，∴∴解得－1≤d<－.]8．8 [∵数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.又a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<0.∴当n＝8时，其前n项和最大．]9．解 (1)设数列{an}的公差为d，依题意，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.当d＝0时，an＝2；当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.(2)当an＝2时，Sn＝2n.显然2n<60n＋800，此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立．26\n当an＝4n－2时，Sn＝＝2n2.令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，解得n>40或n<－10(舍去)，此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41.综上，当an＝2时，不存在满足题意的n；当an＝4n－2时，存在满足题意的n，其最小值为41.【一年模拟试题精练】1．A [由a10＝S4得a1＋9d＝4a1＋d＝4a1＋6d，即a1＝d≠0.所以S8＝8a1＋d＝8a1＋28d＝36d，所以＝＝＝4，选A.]2．D [由2a＝a＋a(n≥2)可知数列{a}是等差数列，且以a＝1为首项，公差d＝a－a＝4－1＝3，所以数列的通项公式为a＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以a＝3×6－2＝16，即a6＝4.选D.]3．C [a1＝tan225°＝tan45°＝1，设等差数列{an}的公差为d，则由a5＝13a1，得a5＝13，d＝＝＝3，∴S2014＝－a1＋a2－a3＋a4＋…＋(－1)2014a2014＝－(a1＋a3＋…＋a2013)＋(a2＋a4＋…＋a2014)＝1007d＝1007×3＝3021.故选C.]4．D [设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，由a2＝2，且a1，a3，a9成等比数列，得(2＋d)2＝(2－d)(2＋7d)，解得d＝1.∴a1＝a2－d＝2－1＝1，∴Sn＝na1＋＝n＋＝＋，故选D.]5．C6．解 (1)∵数列{an}满足an＋1＝an＋4(n∈N*)，∴数列{an}是以公差为4，以a1＝－20为首项的等差数列．故数列{an}的通项公式为an＝－20＋4(n－1)＝4n－24(n∈N*)，数列{an}的前n项和An＝2n2－22n(n∈N*)．(2)∵bn＝＝＝－(n∈N*),∴数列{bn}的前n项Sn为Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－＝.]7．解 (1)由a2＋a6＝6，得a4＝3，又由S5＝＝5a3＝，得a3＝，26\n设等差数列{an}的公差为d，则解得∴an＝n＋.(2)当n≥2时，bn＝＝＝当n＝1时，上式同样成立，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝又随n递增，且＜·1≤m，∴m≥5，mmin＝5.考点16 等比数列【两年高考真题演练】1．B [设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.]2．D [由题意知：a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比数列的情况有：a，－2，b；b，－2，a.∴或解之得：或∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故选D.]3．D [当数列{an}的首项a1<0时，若q>1，则数列{an}是递减数列；当数列{an}的首项a1<0时，要使数列{an}为递增数列，则0<q<1，所以“q>1”是“数列{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D.]4．D [由等比数列的性质得，a3·a9＝a≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D.]5．2n－1 [由等比数列性质知a2a3＝a1a4，又a2a3＝8，a1＋a4＝9，所以联立方程解得或又数列{an}为递增数列，∴a1＝1，a4＝8，从而a1q3＝8，∴q＝2.∴数列{an}的前n项和为Sn＝＝2n－1.]26\n6．3n－1 [由3S1，2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，∴公比q＝3，故等比数列通项an＝a1qn－1＝3n－1.]7．4 [设等比数列{an}的公比为q，q>0.则a8＝a6＋2a4即为a4q4＝a4q2＋2a4，解得q2＝2(负值舍去)，又a2＝1，所以a6＝a2q4＝4.]8. [由题意知数列{an}是以首项a1＝2，公比q＝的等比数列，∴a7＝a1·q6＝2×＝.]9．50 [由等比数列的性质可知，a10a11＋a9a12＝2e5，所以a10·a11＝e5，于是lna1＋lna2＋…＋lna20＝10ln(a10·a11)＝10lne5＝50.]10．解 (1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)，所以－＝2，即cn＋1－cn＝2.所以数列{cn}是以1为首项，2为公差的等差数列，故cn＝2n－1.(2)由bn＝3n－1知an＝cnbn＝(2n－1)3n－1，于是数列{an}的前n项和Sn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1，3Sn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)·3n，相减得－2Sn＝1＋2·(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n＝－2－(2n－2)3n，所以Sn＝(n－1)3n＋1.【一年模拟试题精练】1．B2．C [设an＝a1qn－1，因为q2010＞0所以A，B不成立，对于C，当a3＞0时，a1＞0，因为1－q与1－q2013同号，所以S2013＞0，所以C正确，对于D，取－1，1，－1，1，…不满足条件，D错，故选C.]3．A [∵a6＝，b6＝＝，∴＞，∴a6＞b6.]4．A [∵a3a7＝a2a8＝72，a2＋a8＝27，∴或又∵公比大于1，∴∴q6＝8即q2＝2，∴a12＝a2q10＝3×25＝96.]5．C [因为{an}是等比数列，所以{anan＋1}成以8为首项，为公比的等比数列，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n)，故选C.]26\n6．B [∵y＝2x2(x＞0)，∴y′＝4x，∴x2＝y在第一象限内图象上一点(ai，2a)处的切线方程是：y－2a＝4ai(x－ai)，整理，得4aix－y－2a＝0，∵切线与x轴交点的横坐标为ai＋1，∴ai＋1＝ai，∴{a2k}是首项为a2＝32，公比q＝的等比数列，∴a2＋a4＋a6＝32＋8＋2＝42.故选B.]7．3＋2 [a1，a3，2a2成等差数列，所以a3＝a1＋2a2，即q2－2q－1＝0，∴q＝1＋，所以＝q2＝3＋2.]8．解 (1)当n≥2时，4Sn－1＝a－4(n－1)－1，4an＝4Sn－4Sn－1＝a－a－4a＝a＋4an＋4＝(an＋2)2，∵an＞0，∴an＋1＝an＋2，∴当n≥2时，{an}是公差d＝2的等差数列，∵a2，a5，a14构成等比数列，∴a＝a2·a14，(a2＋8)2＝a2·(a2＋24)，解得a2＝3，由条件可知，4a1＝a－5＝4，∴a1＝1，∵a2－a1＝3－1＝2，∴{an}是首项a1＝1，公差为d＝2的等差数列．数列{an}的通项公式为an＝2n－1，数列{bn}的通项公式为bn＝3n.(2)Tn＝＝＝，∴k≥3n－6对n∈N*恒成立，∴k≥对n∈N*恒成立，令cn＝，cn－cn－1＝－＝，当n≤3时，cn＞cn－1，当n≥4时，cn＜cn－1，∴(cn)max＝c3＝，k≥.9．解 (1)由an＝Sn－Sn＋1＝2n＋1＋2p－2n－2p＝2n，n≥2，a1＝S1＝4＋2p＝2，由a1，a2，a3成等比得p＝－1.(2)由＝(3＋p)anbn，可得bn＝，Tn＝＋＋…＋，Tn＝＋＋…＋，Tn＝＋＋＋…＋－，26\nTn＝－，Tn＝2－－.考点17 数列求和【两年高考真题演练】1．解 (1)由已知，有(a3＋a4)－(a2＋a3)＝(a4＋a5)－(a3＋a4)，即a4－a2＝a5－a3，所以a2(q－1)＝a3(q－1)，又因为q≠1，故a3＝a2＝2，由a3＝a1q，得q＝2.当n＝2k－1(k∈N*)时，an＝a2k－1＝2k－1＝2；当n＝2k(k∈N*)时，an＝a2k＝2k＝2.所以，{an}的通项公式为an＝(2)由(1)得bn＝＝.设{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×，Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×.上述两式相减得：Sn＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－－，整理得，Sn＝4－，n∈N*.所以，数列{bn}的前n项和为4－，n∈N*.2．解 (1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.26\n故数列{an}的通项公式为an＝n.(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.3．解 (1)由a1＝10，a2为整数知，等差数列{an}的公差d为整数．又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0，10＋4d≤0.解得－≤d≤－.因此d＝－3.数列{an}的通项公式为an＝13－3n.(2)bn＝＝(－)．于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝.4．解 (1)由已知得，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，有2a8＝4×2a7＝2a7＋2.解得d＝a8－a7＝2.所以，Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.(2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x－a2)，它在x轴上的截距为a2－.由题意得，a2－＝2－，解得a2＝2.所以d＝a2－a1＝1.从而an＝n，bn＝2n.所以Tn＝＋＋＋…＋＋，2Tn＝＋＋＋…＋.26\n因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－＝2－－＝.所以，Tn＝.【一年模拟试题精练】1．解 (1)因为a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝n·2n＋3，所以当n≥2时，a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋an－1bn－1＝(n－1)·2n＋2，两式相减，得anbn＝n·2n＋3－(n－1)·2n＋2＝(n＋1)·2n＋2(n≥2)，而当n＝1时，a1b1＝16适合上式，从而anbn＝(n＋1)·2n＋2(n∈N*)，又因为{bn}是首项为4，公比为2的等比数列，即bn＝2n＋1，所以an＝2n＋2，从而数列{an＋bn}的前n项和Sn＝＋＝2n＋2＋n2＋3n－4.(2)因为an＝4n＋4，anbn＝(n＋1)·2n＋2(n∈N*)，所以bn＝2n，假设数列{bn}中第k项可以表示为该数列中其它r(r∈N，r≥2)项bt1，bt2，bt3，…，btn(t1＜t2＜t3…＜tn)的和，即bk＝bt1，bt2，bt3，…，btn，从而2k＝2t1＋2t2＋2t3＋…＋2tn，易知k≥tn＋1，(*)又2k＝2t1＋2t2＋2t3＋…＋2tn≤21＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2＜2n＋1，所以k＜tn＋1此与(*)矛盾，从而这样的项不存在．2．解 (1)n≥2时，Sn＝an＋n2－1，Sn－1＝an－1＋(n－1)2－1，两式相减，得an＝an－an－1＋2n－1，∴an－1＝2n－1，∴an＝2n＋1，∴3n·bn＋1＝(n＋1)(2n＋3)－n(2n＋1)＝4n＋3，∴bn＋1＝，当n≥2时，bn＝，又b1＝3适合上式，∴bn＝.(2)由(1)知bn＝，∴Tn＝＋＋＋…＋＋①Tn＝＋＋＋…＋＋②①－②，得Tn＝3＋＋＋＋…＋－＝3＋4·－＝5－，∴Tn＝－，26\nTn－Tn＋1＝－＝－＜0，所以，Tn＜Tn＋1即{Tn}为递增数列，又T3＝＜7，T4＝＞7，当Tn＜7时，n的最大值为3.3．(1)解 ∵，an，Sn成等差数列，∴2an＝Sn＋，当n＝1时，2a1＝S1＋，∴a1＝，当n≥2时，Sn＝2an－，Sn－1＝2an－1－，两式相减得：an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴＝2，所以数列{an}是首项为，公比为2的等比数列．an＝×2n－1＝2n－2.(2)证明 bn＝log2a2n＋1×log2a2n＋3＝log222n＋1－2×log222n＋3－2＝(2n－1)(2n＋1)＝×＝＋＋＋…＋＝＝＜.4．(1)解 a1＝S1＝＝1.(2)解 n＞1时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n(2n－1)，n＝1时，n(2n－1)＝1＝a1，所以∀n∈N*，an＝n(2n－1)．(3)证明 由(2)知，n＞1时，＝＝＜＝＋＋…＋＜1＋26\n＝1＋＝1＋<1＋＝，∵＋＋…＋单调递增，∴∀n∈N*，＋＋…＋＜.考点18 数列的综合应用【两年高考真题演练】1．解 (1)由题意有，即解得或故或(2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①Tn＝＋＋＋＋＋…＋.②①－②可得Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，故Tn＝6－.2．解 (1)因为{an}是递增数列，所以an＋1－an＝|an＋1－an|＝pn.而a1＝1，因此a2＝p＋1，a3＝p2＋p＋1.又a1，2a2，3a3成等差数列，所以4a2＝a1＋3a3，因而3p2－p＝0，解得p＝，p＝0.当p＝0时，an＋1＝an，这与{an}是递增数列矛盾．故p＝.(2)由于{a2n－1}是递增数列，因而a2n＋1－a2n－1＞0，于是(a2n＋1－a2n)＋(a2n－a2n－1)＞0.①26\n但<，所以|a2n＋1－a2n|＜|a2n－a2n－1|.②由①，②知，a2n－a2n－1＞0，因此a2n－a2n－1＝＝.③因为{a2n}是递减数列，同理可得，a2n＋1－a2n＜0，故a2n＋1－a2n＝－＝.④由③，④即知，an＋1－an＝.于是an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋－＋…＋＝1＋·＝＋·.故数列{an}的通项公式为an＝＋·.3．解 (1)由题意a1a2a3…an＝()bn，b3－b2＝6，知a3＝()b3－b2＝8，又由a1＝2，得公比q＝2(q＝－2，舍去)，所以数列{an}的通项为an＝2n(n∈N*)．所以，a1a2a3…an＝2＝()n(n＋1)故数列{bn}的通项为bn＝n(n＋1)(n∈N*)．(2)①由(1)知cn＝－＝－(n∈N*)，所以Sn＝－(n∈N*)．②因为c1＝0，c2＞0，c3＞0，c4＞0，当n≥5时，cn＝，而－＝>0，得≤<1.所以，当n≥5时，cn＜0.26\n综上，对任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k＝4.【一年模拟试题精练】1．解 (1)由题意，当n≥2时，有两式相减，得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)，所以，当n≥2时{an}是等比数列，要使n≥1时{an}是等比数列，则只需＝＝3，从而得出t＝1(2)由(1)得，等比数列{an}的首项为a1＝1，公比q＝3，∴an＝3n－1，∴cn＝＝＝1－，∵c1＝1－＝－3，c2＝1－＝，∴c1c2＝－1<0，∵cn＋1－cn＝－＝>0，∴数列{cn}递增.由c2＝>0，得当n≥2时，cn>0.∴数列{cn}的“积异号数”为1.2．解 (1)因为等差数列{an}的首项为10，公差为2，所以an＝10＋(n－1)×2，即an＝2n＋8.因为等比数列{bn}的首项为1，公比为2，所以bn＝1×2n－1，即bn＝2n－1.(2)因为a1＝10，a2＝12，a3＝14，a4＝16，a5＝18，a6＝20，b1＝1，b2＝2，b3＝4，b4＝8，b5＝16，b6＝32.易知当n≤5时，an>bn.下面证明当n≥6时，不等式bn>an成立．法一 ①当n＝6时，b6＝26－1＝32>20＝2×6＋8＝a6，不等式显然成立．②假设当n＝k(k≥6)时，不等式成立，即2k－1>2k＋8.则有2k＝2×2k－1>2(2k＋8)＝2(k＋1)＋8＋(2k＋6)>2(k＋1)＋8.这说明当n＝k＋1时，不等式也成立．综合①②可知，不等式对n≥6的所有整数都成立．所以当n≥6时，bn>an.法二 因为当n≥6时，bn－an＝2n－1－(2n＋8)＝(1＋1)n－1－(2n＋8)＝(C＋C＋C＋…＋C)－(2n＋8)26\n≥(C＋C＋C＋C＋C＋C)－(2n＋8)＝2(C＋C＋C)－(2n＋8)＝n2－3n－6＝n(n－4)＋(n－6)>0，所以当n≥6时，bn>an.所以cn＝min{an，bn}＝则c＝当n≤5时，Sn＝c＋c＋c＋…＋c＝b＋b＋b＋…＋b＝20＋22＋24＋…＋22n－2＝＝(4n－1)．当n>5时，Sn＝c＋c＋c＋…＋c＝(b＋b＋…＋b)＋(a＋a＋…＋a)＝(45－1)＋4[(6＋4)2＋(7＋4)2＋…＋(n＋4)2]＝341＋4[62＋72＋…＋n2)＋8(6＋7＋…＋n)＋16(n－5)]＝341＋4[(12＋22＋…＋n2)－(12＋22＋…＋52)]＋32(6＋7＋…＋n)＋64(n－5)＝341＋4＋32×＋64(n－5)＝n3＋18n2＋n－679.综上可知，Sn＝26
