x4-5-2证明不等式的基本方法练习苏教版选修4-5一、填空题1．已知M＝a2＋b2，N＝ab＋a＋b－1，则M、N的大小关系为________．解析：∵(a2＋b2)－(ab＋a＋b－1)＝a2＋b2－ab－a－b＋1＝(2a2＋2b2－2ab－2a－2b＋2)＝[(a2－2ab＋b2)＋(a2－2a＋1)＋(b2－2b＋1)]＝[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，∴a2＋b2≥ab＋a＋b－1，∴M≥N.答案：M≥N2．若a，b∈R＋，且a≠b，M＝＋，N＝＋，则M与N的大小关系是________．解析：∵a≠b，∴＋＞2，＋＞2.∴＋＋＋＞2＋2，∴＋＞＋.∴M＞N.答案：M＞N3．设两个不相等的正数a、b满足a3－b3＝a2－b2，则a＋b的取值范围是________．解析：∵a3－b3＝a2－b2(a≠b)，∴a2＋ab＋b2＝a＋b，∴(a＋b)2－ab＝a＋b，∴ab＝(a＋b)2－(a＋b)，又∵0＜ab＜()2，∴0＜(a＋b)2－(a＋b)＜()2，5\n解之得1＜a＋b＜.答案：4．若logxy＝－2，则x＋y的最小值是________．解析：∵logxy＝－2，∴y＝，∴x＋y＝x＋＝＋＋≥3＝.答案：5．设不等式＋≤a对一切x＞0，y＞0恒成立，求实数a的最小值为________．解析：原题即a≥对一切x＞0，y＞0恒成立．设A＝，A2＝＝1＋≤2，当x＝y时等号成立，∵A＞0，∴0＜A≤.即A有最大值.∴当a≥时，＋≤a对一切x＞0，y＞0成立．∴a的最小值为.答案：6．有以下四个不等式：①(x＋1)(x＋3)＞(x＋2)2； ②ab－b2＜a2；③＞0； ④a2＋b2≥2|ab|.其中恒成立的为________(写出序号即可)．解析：∵(x＋1)(x＋3)－(x＋2)2＝－1＜0，∴(x＋1)(x＋3)＜(x＋2)2，①错．∵a2－(ab－b2)＝(a－)2＋≥0，∴ab－b2≤a2，②错．5\n③显然成立．④由均值不等式，|a|2＋|b|2≥2|ab|，即a2＋b2≥2|ab|成立．答案：③④7．若＜＜0，则下列四个结论①|a|＞|b|；②a＋b＜ab；③＋＞2；④＜2a－b.其中正确的是________．解析：∵＜＜0，∴b＜a＜0，∴－b＞－a＞0，∴|b|＞|a|，故①错误．∵b＜a＜0，显然②正确．又∵＞0，＞0，且≠，∴③正确．又∵－(2a－b)＝－2a＋b＝＝＜0，∴＜2a－b，∴④正确．答案：②③④8．设a＞0，b＞0，M＝，N＝＋，则M与N的大小关系是________．解析：∵a＞0，b＞0，∴N＝＋＞＋＝＝M.∴M＜N.答案：M＜N9．设x，y，z∈R，若x2＋y2＋z2＝4，则x－2y＋2z的最小值为________时，(x，y，z)＝________．解析：∵(x－2y＋2z)2≤(x2＋y2＋z2)[12＋(－2)2＋22]＝4×9＝36，∴x－2y＋2z最小值为－6，此时＝＝.又∵x2＋y2＋z2＝4，5\n∴x＝－，y＝，z＝－.答案：－6 二、解答题10．求证：＋＋…＋<2(n∈R*)．证明：∵<＝－，∴＋＋…＋<1＋(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1＋(1－)＝2－<2.11．(2022·高考辽宁卷)已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)证明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．解：(1)证明：f(x)＝|x－2|－|x－5|＝当2<x<5时，－3<2x－7<3，所以－3≤f(x)≤3.(2)由(1)可知，当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；当2<x<5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x<5}；当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}．综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x≤6}．12．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．证明：法一：因为a，b，c均为正数，由均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)，①＋＋≥3(abc)－，所以≥9(abc)－.②5\n故a2＋b2＋c2＋≥3(abc)＋9(abc)－.又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①和②式等号成立．当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac①同理＋＋≥＋＋②故a2＋b2＋c2＋≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．5
