活页作业 证明不等式的基本方法一、选择题1．设P＝，Q＝－，R＝－，则P、Q、R的大小顺序是( )A．P＞Q＞R B．P＞R＞QC．Q＞P＞R D．Q＞R＞P3．若实数x，y适合不等式xy＞1，x＋y≥－2，则( )A．x＞0，y＞0 B．x<0，y<0C．x＞0，y<0 D．x<0，y＞0解析：x，y异号时，显然与xy＞1矛盾，所以可排除C、D.假设x<0，y<0，则x<.∴x＋y<y＋≤－2与x＋y≥－2矛盾，故假设不成立．又xy≠0，∴x＞0，y＞0.答案：A4．设M＝＋＋＋…＋，则( )A．M＝1 B．M<16\nC．M＞1 D．M与1大小关系不定解析：∵210＋1＞210,210＋2＞210，…，211－1＞210，∴M＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋<答案：B5．(金榜预测)若f(x)＝，A＝f，G＝f，H＝f，a，b为正实数，则A、G、H的大小关系是( )A．A≥G≥H B．A≥H≥GC．H≥G≥A D．G≥H≥A6．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A．若f(1)<1成立，则f(10)<100成立B．若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立D．若f(4)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析：由数学归纳法原理可得若f(3)≥9成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立，即A不正确；若f(5)≥25成立，则f(k)≥k2成立，即B不正确；若f(7)<49成立，则当k≤6时，均有f(k)<k2成立，即C不正确；6\n若f(4)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立，故应选D.答案：D二、填空题7．设a＋b＋c＝1，则a2＋b2＋c2的最小值是________．解析：∵a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－(2bc＋2ac＋2ab)而2ab＋2bc＋2ac≤2(a2＋b2＋c2)当且仅当a＝b＝c时等号成立．∴a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2－2(a2＋b2＋c2)∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1∴a2＋b2＋c2≥答案：6\n9．某品牌彩电厂家为了打开市场，促进销售，准备对其生产的某种型号的彩电降价销售，现有四种降价方案：(1)先降价a%，再降价b%；(2)先降价b%，再降价a%；(3)先降价%，再降价%；(4)一次性降价(a＋b)%.其中a＞0，b＞0，a≠b.上述四个方案中，降价幅度最小的是________．所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．故当且仅当a＝b＝c＝时，原不等式等号成立．6\n方法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①同理＋＋≥＋＋，②故a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ac＋＋＋≥6.③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立，故当且仅当a＝b＝c＝3时，原不等式等号成立．11．(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；(2)设1<a≤b≤c，证明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.证明：(1)当n＝1时，a1·≥12，所以不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时不等式成立，即6\n(a1＋a2＋…＋ak)≥k2.则n＝k＋1时6
