[第18讲 概 率](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则互斥且不对立的两个事件是( )A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”2．甲、乙二人下棋，甲获胜的概率是50%，甲不输的概率为95%，则甲、乙二人平局的概率为( )A．65%B．35%C．15%D．45%3．甲、乙两名学生同时收到了A，B，C，D四所院校的面试通知，但由于这四所院校的面试安排在同一时间，因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所参加其面试，假设每位同学选择各个院校是等可能的，则甲、乙选择同一所院校的概率为( )A．B．C．D．4．有两张卡片，一张的正反面分别写着0和1，另一张的正反面分别写着4和5，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数能被5整除的概率是( )A．B．C．D．5．一名同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在平面直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x＋y＝8上的概率为________.提升训练6．从1，2，3，4这四个数中一次性随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的2倍的概率是( )A．B．C．D．7．同时掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率是( )A．B．C．D．8．从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，则这个数能被3整除的概率为( )A．B．-5-\nC．D．9．甲、乙二人参加知识竞答，共有10道不同的题目，其中6道选择题，4道判断题，甲、乙两人依次各抽一道题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是________.10．从1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是________.11．甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图181所示，如果分别从甲、乙两组中各随机挑选一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率为________.图18112．从集合{1，2，3，4}中依次有放回地随机抽取2次，每次抽取1个数，则2次抽取的数之和等于4的概率是________.13．甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为350个、700个、1050个，现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验.(1)求从甲、乙、丙三个车床中抽取的零件的个数；(2)从抽取的6个零件中任意取出2个，已知这2个零件都不是甲车床加工的，求其中至少有1个是乙车床加工的概率.14．2022年“五一”期间，高速公路车辆较多，交通部门通过路面监控装置抽样调查了某一山区路段汽车的行驶速度.采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度(km/h)，并将行车速度分成七段[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95]后得到如图182所示的频率分布直方图.据图解答下列问题：图182(1)求a的值，并说明交通部门采用的是什么抽样方法；(2)估计这120辆车行驶速度的众数和中位数(精确到0.1)；-5-\n(3)若该路段的车速达到或超过90km/h即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率.15．某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学，现测得排球队10名同学的身高(单位：cm)分别是162，170，171，182，163，158，179，168，183，168，篮球队10名同学的身高(单位：cm)分别是170，159，162，173，181，165，176，168，178，179.(1)请把两队身高数据记录在如图183所示的茎叶图中，并指出哪个队的身高方差较小(无需计算).图183(2)现从两队所有身高超过178cm的同学中随机抽取三名同学，则其中两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少？-5-\n专题限时集训(十八)【基础演练】1．D [解析]“至少有一个黑球”且含“1黑1红”，“2黑”两种情况，其中“2黑”与“都是黑球”不互斥，A错；“到少有一个黑球”与“都是红球”既互斥也对立，B错；“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件，C错；只有D正确．2．D [解析]“甲不输”即为“甲获胜”或“甲、乙二人平局”，设“甲、乙二人平局”的概率为P，则95%＝50%＋P，得P＝45%.3．B [解析]甲、乙选择院校的方法共有4×4＝16(种)，其中二人选择同一所院校的方法有4种，所以其概率P＝.4．D [解析]由题意可知，共有6个基本事件，其中符合题意的基本事件有3个，故所求的概率为＝.5． [解析]满足条件的点的坐标有(1，6)，(2，4)，(3，2)，故所求的概率为＝.【提升训练】6．B [解析]一次性地随机取两个数，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种取法，其中一个是另一个的2倍的取法有(1，2)，(2，4)，故其概率为.7．C [解析]同时抛掷两个骰子，向上的点数共有36个结果，其中点数之差的绝对值为4的结果有(1，5)，(5，1)，(2，6)，(6，2)，所求的概率为＝.8．C [解析]从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，共有A－A＝648(个)，其中，能被3整除的三位数可以分为“含0”与“不含0”两类；“含0”类：由(0，1，2)，(0，1，5)，(0，1，8)，(0，2，4)，(0，2，7)，(0，4，5)，(0，4，8)，(0，5，7)，(0，7，8)，(0，3，6)，(0，3，9)，(0，6，9)这几组数据构成，它们组成的无重复数字的三位数有12CA个．“不含0”类：(1)含3，6，9中的一个，另外两个数字分别为(1，2)，(1，5)，(1，8)，(2，4)，(2，7)，(4，5)，(4，8)，(5，7)，(7，8)，它们组成的无重复数字的三位数有3×9A＝27A(个)；(2)由3，6，9三个数字构成无重复数字的三位数有A个；(3)由(1，4，7)，(2，5，8)组成无重复数字的三位数有2A个．故从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数中能被3整除的共有12CA＋30A＝228(个)，故所求概率P＝＝.9． [解析]由题意可知，基本事件的总数为A＝90，基中甲、乙两人均抽到判断题的基本事件的个数是A＝12，故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是1－＝.10． [解析]从5个数中任取2个，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10种情况，其中和为偶数的情况有4种，所以其概率P＝＝.-5-\n11． [解析]基本事件总数为3×3＝9，其中成绩之差超过3的只有甲组的88和乙组的92，故所求概率为1－＝.12． [解析]有放回地取两次，共有16种可能，和为4，共有3种可能，P＝.13．解：(1)由分层抽样可知，从甲、乙、丙三个车床中抽取的零件的个数分别为1，2，3.(2)设抽取的6个零件为a1，b1，b2，c1，c2，c3.已知抽取的这2个零件都不是甲车床加工的，则所有可能的结果为(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共10种情况．其中至少有1个是乙车床加工的，则可能结果为(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2),(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2),(b2，c3)，共7种情况．故所求概率P＝0.7.14．解：(1)由频率分布直方图可知(a＋0.05＋0.04＋0.02＋0.02＋0.005＋0.005)×5＝1，解得a＝0.06.该抽样方法是系统抽样．(2)众数的估计值即为最高矩形的中点，故众数的估计值为77.5km/h.设中位数的估计值为x，则0.005×5＋0.02×5＋0.04×5＋0.06×(x－75)＝0.5，解得x≈77.9.即中位数的估计值是77.9km/h.(3)样本中，车速在[90，95]的频率为0.005×5＝0.025，故估计该路段车辆超速行驶的概率P＝0.025.15．解：(1)茎叶图如图所示，易知篮球队的身高方差较小．(2)两队所有身高超过178cm的同学共有5人，其中排球队有3人，记为a，b，c，篮球队有2人，记为A，B.则从5人中抽取3名同学的基本事件为abc，abA，abB，acA，acB，aAB，bcA，bcB，bAB，cAB，共10个．其中两人来自排球队一人来自篮球队所含的事件有abA，abB，acA，acB，bcA，bcB，共6个.所以两人来自排球队一人来自篮球队的概率P＝＝.-5-
