【走向高考】2022届高考数学一轮基础巩固第13章第1节相似三角形的判定与性质北师大版选修4-1一、选择题1.在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形＝40cm2，S△ABES△DBA＝15，则AE的长为( )A．4cm B．5cmC．6cmD．7cm[答案] A[解析] ∵∠BAD为直角，AE⊥BD，∴△ABE∽△DBA，∴＝2＝，∴ABDB＝1.设AB＝k，则DB＝k，AD＝2k，∵S矩形＝40，∴k·2k＝40，∴k＝2，∴BD＝10，则S△ABD＝BD·AE＝×10×AE＝20，∴AE＝4cm.2．如图所示，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使点B落在AD边的中点E处，则折痕FG的长为( )A．13B．C．D．[答案] C[解析] 过A作AH∥FG交DG于H，则四边形AFGH为平行四边形．∴AH＝FG.∵折叠后B点与E点重合，折痕为FG，∴B与E关于FG对称．∴BE⊥FG，∴BE⊥AH.∴∠ABE＝∠DAH，∴Rt△ABE∽Rt△DAH.∴＝.∵AB＝12，AD＝10，AE＝AD＝5，∴BE＝＝13，∴FG＝AH＝＝.-6-\n二、填空题3．(2022·广东高考)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________.[答案] 9[解析] 本题考查三角形相似比与面积比关系．∵EB＝2AE，∴AB＝3AE，又∵△DFC∽△EAF，∴＝＝＝9.4．如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.[答案] [解析] ∵BC∥PE，∴∠BCD＝∠PED，又∵∠BCD＝∠BAD．∴∠PED＝∠BAD，则△EPD∽△APE，∴＝，即PE2＝PA·PD＝3×2＝6，所以PE＝.5．如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE交于F，写出图中所有与△ACE相似的三角形为________．[答案] △FCD、△FBE、△ABD[解析] 由Rt△ACE与Rt△FCD和Rt△ABD各共一个锐角，因而它们均相似，又易知∠BFE＝∠A，故Rt△ACE∽Rt△FBE.6．(2022·西安模拟)如图，在△ABC中，M，N分别是AB，BC的中点，AN，CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是________．[答案] 14[解析] ∵M，N分别是AB、BC的中点，故MN綊AC，∴△MON∽△COA，∴＝()2＝.7．(2022·渭南模拟)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.-6-\n[答案] 2[解析] 由于∠ACD＝∠AEB＝90°，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴＝.又AC＝4，AD＝12，AB＝6，∴AE＝＝＝2.8．(2022·佛山质检)如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.[答案] [解析] 连接DE和BD，依题知，EB∥DC，EB＝DC＝，CB⊥AB，∴EBCD为矩形，∴DE⊥AB，又E是AB的中点，所以△ABD为等腰三角形．故AD＝DB＝a，∵E，F分别是AD，AB的中点，∴EF＝DB＝A．三、解答题9．如图，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD．[解析] (1)因为＝.所以∠BCD＝∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD．(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故＝，即BC2＝BE·CD．一、填空题-6-\n1．已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD>BD)，若CD＝6，则AD＝________.[答案] 9[解析] 如图，连接AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.设AD＝x，∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.∵AD>BD，∴AD＝9.2．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.[答案] [解析] 在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝，所以∠BAC＝60°.因为BE⊥AC，AB＝，所以AE＝，在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD2－2AE·AD·cos∠EAD＝＋9－2××3×＝，故ED＝.3．(2022·茂名模拟)如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝4，CD＝12，则EF＝________.[答案] 3[解析] ∵AB∥CD∥EF，∴＝，＝，∴＝，＝，∴4(BC－BF)＝12BF，∴BC＝4BF，∴＝4＝，∴EF＝3.4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝________.[答案] 15[解析] ∵AD∥BC，∴＝＝＝，∴＝，-6-\n∵OE∥AD，∴＝＝，∴OE＝AD＝×12＝，同理可求得OF＝BC＝×20＝，∴EF＝OE＋OF＝15.5.如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.[答案] [解析] 连接AO，AC，因为∠ABC＝30°，所以∠CAP＝30°，∠AOC＝60°，△AOC为等边三角形，则∠ACP＝120°，∴∠APC＝30°，∴△ACP为等腰三角形，且AC＝CP＝1.∴PA＝2×1×sin60°＝.二、解答题6．如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC．[证明] (1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB．由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，从而∠FEB＝∠EAB．故∠FEB＝∠CEB．(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所BC＝BF.类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC．7．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E.求证：-6-\n(1)△ABC≌△DCB；(2)DE·DC＝AE·BD．[解析] (1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD．∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB．(2)∵△ABC≌△DCB．∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC．∴∠DAC＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB．∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC，∴∠EDA＝∠DBC，∴△ADE∽△CBD．∴DEBD＝AECD．∴DE·DC＝AE·BD．-6-
