【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第9章 第7节 双曲线（含解析）北师大版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第9章第7节双曲线北师大版一、选择题1．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)A．4B．3C．2D．1[答案]　C[解析]　本小题考查内容为双曲线的渐近线．双曲线的渐近线方程为y＝±x，比较y＝±x，∴a＝2.2．(2022·新课标Ⅰ)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)A．2B．C．D．1[答案]　D[解析]　本题考查双曲线的标准方程及离心率．由条件知a2＋3＝c2，e＝＝2，∴a＝1，选D．3．双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)A．B．C．D．[答案]　C[解析]　本题考查双曲线的渐近线及点到直线的距离公式．不妨设顶点(2,0)，渐近线y＝，即x－2y＝0，∴d＝＝.-9-\n4．如果双曲线－＝1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离是(　　)A．4B．12C．4或12D．不确定[答案]　C[解析]　由双曲线方程，得a＝2，c＝4.根据双曲线的定义|PF1|－|PF2|＝±2a，则|PF1|＝|PF2|±2a＝8±4，∴|PF1|＝4或12，经检验二者都符合题意．5．(2022·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为(　　)A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1[答案]　A[解析]　由于一个焦点在直线y＝2x＋10上，则一个焦点为(－5,0)，又由渐近线平行于直线y＝2x＋10.则＝2，结合a2＋b2＝c2，c＝5得，a2＝5，b2＝20，双曲线标准方程为－＝1，选A．6．设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|等于(　　)A．B．2C．D．2[答案]　B[解析]　由题意知：F1(－，0)，F2(，0)，2c＝2，2a＝2.∵·＝0，∴PF1⊥PF2，∴|＋|＝2PO＝|F1F2|，∴|＋|＝2.二、填空题-9-\n7．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________.[答案]　16[解析]　本题考查双曲线的标准方程以及a、b、c基本量的关系和运算．根据标准方程可知，a2＝m，b2＝9，而c＝5，∴c2＝a2＋b2，∴52＝m＋9.∴m＝16.8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．[答案]　2[解析]　本题考查双曲线的标准方程以及离心率等知识．由双曲线标准方程－＝1知a2＝m>0，b2＝m2＋4，∴c2＝a2＋b2＝m＋m2＋4，由e＝得＝5，∴m>0且＝5，∴m＝2.9．如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点，且双曲线过C、D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．[答案]　x2－＝1[解析]　设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意得B(2,0)，C(2,3)，∴，解得，∴双曲线的标准方程为x2－＝1.三、解答题10．根据下列条件求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，且过点M(，－1)；(2)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝.[解析]　(1)∵双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，∴可设双曲线的方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)．又∵双曲线过点M，∴λ＝4×－9＝72.-9-\n∴双曲线方程为4x2－9y2＝72，即－＝1.(2)解法1(设标准方程)由椭圆方程可得焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，即c＝5且焦点在x轴上，∴可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，且c＝5.又e＝＝，∴a＝4，∴b2＝c2－a2＝9.∴双曲线的标准方程为－＝1.解法2(设共焦点双曲线系方程)∵椭圆的焦点在x轴上，∴可设双曲线方程为－＝1(24<λ<49)．又e＝，∴＝－1，解得λ＝33.∴双曲线的标准方程为－＝1.一、选择题1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为(　　)A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1[答案]　A[解析]　∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为C(3,0)．又渐近线方程与圆C相切，即直线bx－ay＝0与圆C相切，∴＝2，∴5b2＝4a2.①-9-\n又∵－＝1的右焦点F2(，0)为圆心C(3,0)，∴a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为－＝1.2．(文)(2022·重庆高考)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为(　　)A．B．C．4D．[答案]　D[解析]　此题考查双曲线的定义和几何性质及方程的思想．∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴(2a)2＝b2－3ab，即4a2＝b2－3ab，即4a2＋3ba－b2＝0，∴(4a－b)(a＋b)＝0，∴b＝4A．又∵c2＝b2＋a2，∴c2＝17a2，∴e2＝17即e＝.(理)(2022·重庆高考)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为(　　)A．B．C．D．3[答案]　B[解析]　不妨设点P是右支上的一点，由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝，|PF2|＝，|PF1||PF2|＝×＝，＝，解得3b＝4a，所以离心率为e＝.双曲线的离心率e＝＝.二、填空题3．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为________．[答案]　4-9-\n[解析]　设C：－＝1.∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4.得A(－4，)，B(－4，－)，∴|AB|＝2＝4，∴a＝2，∴2a＝4.∴C的实轴长为4.4．双曲线－＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被点(，0)分成32两段，则此双曲线的离心率为________．[答案]　[解析]　∵(＋c)(c－)＝32.∴c＝b，a＝＝b，e＝＝＝.三、解答题5．已知点A(－，0)和点B(，0)，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y＝x－2交于D、E两点，求线段DE的长．[分析]　求双曲线方程，联立方程组，结合根与系数的关系求弦长．[解析]　设点C(x，y)，则|CA|－|CB|＝±2，根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线－＝1.(a>0，b>0)由2a＝2,2c＝|AB|＝2，得a2＝1，b2＝2，故点C的轨迹方程是x2－＝1，由，消去y并整理得x2＋4x－6＝0.因为Δ>0，所以直线与双曲线有两个交点．设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1＋x2＝－4，x1x2＝－6，故|DE|＝＝·＝4.[点评]　(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．6．(文)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．-9-\n(1)求双曲线C的方程；(2)若直线y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．[解析]　(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知得a＝，c＝2，又a2＋b2＝c2，得b2＝1，故双曲线C的方程为－y2＝1.(2)联立，整理得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴，可得m2>3k2－1且k2≠.①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)，则x1＋x2＝，x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，由题意，AB⊥MN，∵kAB＝＝－(k≠0，m≠0)，整理得3k2＝4m＋1，②将②代入①，得m2－4m>0，∴m<0或m>4，又3k2＝4m＋1>0(k≠0)，即m>－.∴m的取值范围是(－，0)∪(4，＋∞)．(理)(2022·福建高考)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.(1)求双曲线E的离心率；(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1、l2于A，B两点(A、B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．-9-\n[解析]　(1)∵双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，∴＝2，∴＝2，故c＝a，从而双曲线E的离心率e＝＝.(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.设直线l与x轴相交于点C，当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E只有一个公共点，则|OC|＝a，|AB|＝4a，又∵△OAB的面积为8，∴|OC|·|AB|＝8，因此a·4a＝8，解得a＝2，此时双曲线E的方程为－＝1，若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能是－＝1.以下证明：当直线l与x轴不垂直时，双曲线E：－＝1也满足条件，设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意得k>2或k<－2，-9-\n则C(－，0)，记A(x1，y1)、B(x2，y2)．由得y1＝，同理得y2＝.由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|得|－|·|－|＝8，即m2＝4|4－k2|＝4(k2－4)，由得，(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0，∵4－k2<0∴Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)，又∵m2＝4(k2－4)，∴Δ＝0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点，因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.-9-