【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第8章第1节简单几何体及其三视图和直观图北师大版一、选择题1．(2022·江西高考)一几何体的直观图如下图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )[答案] B[解析] 本题考查三视图．由俯视图的概念可知选B．2.右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是( )A．3 B．2C．1 D．0[答案] A[解析] 本题主要考查三视图及空间想象能力．对于①，存在这样的三棱柱，如图三棱柱，对于②，存在这样的四棱柱，如长方体，对于③，存在这样的圆柱，如把圆柱横向放置即可，故选A．3．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱[答案] D[解析] -8-\n本题考查了几何体的三视图，在这四个几何体中，圆柱的三视图必然是不同的，三视图的定义是三个方向上的正投影．4．下列命题中，成立的是( )A．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥B．四面体一定是三棱锥C．棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定是正棱锥D．底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥一定是正棱锥[分析] 结合棱锥、正棱锥的概念逐一进行考查．[答案] B[解析] A是错误的，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥；B是正确的，三个面共顶点，另有三边围成三角形是四面体也必定是个三棱锥；对于C，如图所示，棱锥的侧面是全等的等腰三角形，但该棱锥不是正棱锥；D也是错误的，底面多边形既有内切圆又有外接圆，如果不同心，则不是正多边形，因此不是正棱锥．[点评] 本题考查棱锥、正棱锥的概念以及四面体与三棱锥的等价性，当三棱锥的棱长都相等时，这样的三棱锥叫正四面体．判断一个命题为真命题要考虑全面，应特别注意一些特殊情况．5．(2022·新课标Ⅰ)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱[答案] B[解析] 本题考查三视图由三视图知识几何体是三棱柱，注意是平放的三棱柱．6.右图为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中点B-8-\n的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为( )A．B．C．1D．[答案] B[解析] 如图，在平面直观图中，B′C′＝1，∠B′C′D′＝45°，∴B′D′＝.二、填空题7．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上结论正确的个数是________．[答案] 1[解析] 由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误．8．如图所示，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________．(要求：把可能的图的序号都填上)[答案] ②③[解析] 由正投影的定义，四边形BFD1E在面AA1D1D与面BB1C1C上的正投影是图③；其在面ABB1A1与面DCC1D1上的正投影是图②；其在面ABCD与面A1B1C1D1上的正投影也是②，故①④错误．9．如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF-8-\n在该正方体的各个面上的投影可能是________(填出所有可能的序号)．[答案] ①②③[解析] 空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′上的投影是①；在面BCC′B′上的投影是②；在面ABCD上的投影是③，故填①②③.三、解答题10．右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2.(1)画出该几何体的三视图；(2)求四棱锥B－CEPD的体积．[解析] (1)如图所示：(2)∵PD⊥平面ABCD，PD平面PDCE，∴平面PDCE⊥平面ABCD．∵BC⊥CD，∴BC⊥平面PDCE.∵S梯形PDCE＝(PD＋EC)·DC＝×3×2＝3，∴四棱锥B－CEPD的体积VB－CEPD＝S梯形PDCE·BC＝×3×2＝2.一、选择题-8-\n1．将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为( )[答案] B[解析] 本题考查了根据几何体的直观图来判断其三视图．左视图为实线为AD1，虚线为B1C．在画几何体的三视图时，尤其要注意区分实线与虚线．2．已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )A．a2B．a2C．a2D．a2[分析] 先根据题意画出直观图，然后根据直观图△A′B′C′的边长及夹角求解．[答案] D[解析] 如图①、②所示的实际图形和直观图．由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝A．∴S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.二、填空题3.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2-8-\n，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．[答案] 2[解析] 本小题考查内容为几何体的三视图．设边长为a，∴S底面＝a2，∴V＝a3＝2，∴a＝2，∴俯视图的高为，∴S矩形＝2.4．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．[答案] 2[解析] 由主视图和俯视图可知几何体是正方体切割后的一部分(四棱锥C1－ABCD)，还原在正方体中，如图所示．多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线，如图即AC1.由正方体棱长AB＝2知最长棱AC1的长为2.三、解答题5．已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝2AB＝4.(1)根据已经给出的此四棱锥的主视图，画出其俯视图和左视图．-8-\n(2)证明：平面PAD⊥平面PCD．[解析] (1)(2)∵PA⊥平面ABCD，PA平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD．又CD平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD．6．(文)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.[分析] 由三视图的形状大小，还原成几何体；再利用体积公式和表面积公式求解．[解析] (1)由该几何体的俯视图、主视图、左视图可知，该几何体是四棱锥．且四棱锥的底面ABCD是边长为6和8的矩形，高VO＝4，O点是AC与BD的交点．∴该几何体的体积V＝×8×6×4＝64.-8-\n(2)如图所示，OE⊥AB，OF⊥BC，侧面VAB中，VE＝＝＝5，∴S△VAB＝×AB×VE＝×8×5＝20，侧面VBC中，VF＝＝＝4，∴S△VBC＝×BC×VF＝×6×4＝12.∴该几何体的侧面积S＝2(S△VAB＋S△VBC)＝40＋24.[点评] 由三视图还原成几何体，需要对常见的柱、锥、台、球的三视图非常熟悉，有时还可根据三视图的情况，还原成由常见几何体组合而成的组合体．(理)已知正三棱锥V－ABC的主视图、左视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出左视图的面积．[解析] (1)直观图如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC＝2，∴在左视图中，VA＝＝2，∴S△VBC＝×2×2＝6.-8-
