【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第5章第3节平面向量的数量积新人教A版一、选择题1．(2022·湖北理，6)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为( )A． B．C．－ D．－[答案] A[解析] ∵＝(2,1)，＝(5,5)，∴·＝2×5＋1×5＝15，||＝5，所求投影为||cos<，>＝＝＝，故选A．2．(文)(2022·大连测试)已知向量|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝，则|a＋b|为( )A．9 B．7C．3 D．[答案] D[解析] 依题意得|a＋b|＝＝＝＝，选D．(理)(2022·山东师大附中模拟)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋b|＝( )A．9 B．C．3 D．7[答案] B[解析] |a|＝2，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×1×＝1，所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝4＋1＋2＝7，所以|a＋b|＝，选B．-11-\n3．(2022·北京四中期中)若O是△ABC所在平面内的一点，且满足(＋)·(－)＝0，则△ABC一定是( )A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．直角三角形 D．斜三角形[答案] C[解析] 由(＋)·(－)＝0得·＝0，即BC⊥AC，所以∠C＝90°，所以△ABC为直角三角形，选C．4．(文)设A，B，C是圆x2＋y2＝1上不同的三个点，且·＝0，若存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，则实数λ，μ的关系为( )A．λ2＋μ2＝1 B．＋＝1C．λ·μ＝1 D．λ＋μ＝1[答案] A[解析] 由＝λ＋μ得||2＝(λ＋μ)2＝λ2||2＋μ2||2＋2λμ·.因为·＝0，所以λ2＋μ2＝1，所以选A．(理)已知A、B、C是圆O：x2＋y2＝r2上三点，且＋＝，则·等于( )A．0 B． C． D．－[答案] A[解析] ∵A、B、C是⊙O上三点，∴||＝||＝||＝r (r>0)，∵＋＝，∴·＝(－)·(＋)＝||2－||2＝0，故选A．5．(2022·保定模拟)在△ABC中，AB＝4，AC＝3，·＝1，则BC＝( )A． B．C．2 D．3[答案] D[解析] 设BC＝x(x>0)，∵·＝1，-11-\n∴3x·cosC＝1，又cosC＝，∴3x·＝1，∴x＝3.6．(2022·河北石家庄调研)已知点G是△ABC的重心，若∠A＝120°，·＝－2，则||的最小值是( )A． B．C． D．[答案] C[解析] 在△ABC中，延长AG交BC于D，∵点G是△ABC的重心，∴AD是BC边上的中线，且AG＝AD．∵·＝||||cos120°＝－2，∴||||＝4.∵＝，2＝＋，∴＝(＋)．∴2＝[(＋)]2＝(2＋2·＋2)≥[2||||＋2×(－2)]＝，∴2≥，∴||≥，∴||的最小值是.二、填空题7．(文)(2022·山东潍坊联考)向量a，b满足(a－b)·(2a＋b)＝－4，且|a|＝2，|b|＝4，则a，b的夹角等于________．[答案] 120°[解析] 由(a－b)·(2a＋b)＝－4得，-11-\n2|a|2－a·b－|b|2＝－4，即a·b＝－4，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，所以〈a，b〉＝120°.(理)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．[答案] [解析] (a＋2b)·(a－b)＝－2，即|a|2＋a·b－2|b|2＝－2，∴22＋a·b－2×22＝－2，a·b＝2，又cos〈a，b〉＝＝＝，〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为.8．如下图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.[答案] 18[解析] 过C作BD的平行线，与AP的延长线交于Q点，则AQ＝2AP＝6，则·＝||·||cos〈，〉＝||||＝3×6＝18.9．已知＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．(1)若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．(2)若△ABC为Rt△，且∠A为直角，则m＝______.[答案] m∈R且m≠ [解析] (1)若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线．∵＝(3,1)，＝(2－m,1－m)，∴3(1－m)≠2－m，∴m≠.即实数m≠，满足条件．-11-\n(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则⊥，∴3(2－m)＋(1－m)＝0，解得m＝.三、解答题10．(文)三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量m＝(c－a，b－a)，n＝(a＋b，c)，若m∥n.(1)求角B的大小；(2)若sinA＋sinC的取值范围．[解析] (1)由m∥n知＝，即得b2＝a2＋c2－ac，据余弦定理知，cosB＝，得B＝.(2)sinA＋sinC＝sinA＋sin(A＋B)＝sinA＋sin(A＋)＝sinA＋sinA＋cosA＝sinA＋cosA＝sin(A＋)，∵B＝，∴A＋C＝，∴A∈(0，)，∴A＋∈(，)，∴sin(A＋)∈(，1]，∴sinA＋sinC的取值范围为(，]．(理)(2022·浙江重点中学联谊学校期中)已知a＝(cos，sin)，b＝(cos，－sin)，且θ∈[0，]．(1)求的最值；(2)是否存在k的值使|ka＋b|＝|a－kb|?[解析] (1)由已知得a·b＝coscos－sinsin＝cos2θ，∵θ∈[0，]，-11-\n∴|a＋b|＝＝＝2cosθ，∴＝＝cosθ－，令cosθ＝t，t∈[，1]，∴cosθ－＝t－，(t－)′＝1＋>0，∴y＝t－为增函数，其最大值为，最小值为－，∴的最大值为，最小值为－.(2)假设存在k的值满足题设条件，则|ka＋b|2＝3|a－kb|2.∵|a|＝|b|＝1，a·b＝cos2θ，∴cos2θ＝，∵θ∈[0，]，∴－≤cos2θ≤1，∴－≤≤1，∴2－≤k≤2＋或k＝－1.一、选择题11．(文)(2022·沈阳市二检)已知▱ABCD中，＝(2,8)，＝(－3,4)，对角线AC与BD相交于点M，则的坐标为( )A．(－，－6) B．(－，6)C．(，－6) D．(，6)[答案] B[解析] ＝(＋)＝(－，6)，故选B．(理)已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则·(＋)( )A．最大值为8 B．最小值为2C．是定值6 D．与P的位置有关[答案] C-11-\n[解析] 以BC的中点O为原点，直线BC为x轴建立如图坐标系，则B(－1,0)，C(1,0)，A(0，)，＋＝(－1，－)＋(1，－)＝(0，－2)，设P(x,0)，－1≤x≤1，则＝(x，－)，∴·(＋)＝(x，－)·(0，－2)＝6，故选C．12．(文)△ABC中，AB边的高为CD．若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝( )A．a－b B．a－bC．a－b D．a－b[答案] D[解析] ∵a·b＝0，∴∠ACB＝90°，又|a|＝1，|b|＝2，∴AB＝，∴CD＝，∴BD＝，AD＝.即AD∶BD＝4∶1.∴＝＝(－)＝(a－b)．故选D．本题的关键点是利用直角三角形的性质确定点D的位置．(理)(2022·东北三省三校二模)已知△ABC中，||＝10，·＝－16，D为边BC的中点，则||等于( )A．6 B．5 C．4 D．3-11-\n[答案] D[解析] ∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA，∴100＝AB2＋AC2＋32，∴AB2＋AC2＝68.2＝＋，∴4||2＝|＋|2＝2＋2＋2·＝68－32＝36，∴||＝3.13．(2022·甘肃省三诊)已知O是坐标原点，点A(－2,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是( )A．[－1,0] B．[－1,2]C．[0,1] D．[0,2][答案] B[解析] ·＝－2x＋y，画出不等式组，表示的平面区域如图所示．当点M的坐标为(1,1)时，·取最小值－1，当点M的坐标为(0,2)时，·＝2，故选B．14．(2022·郑州市质检)如图所示，点A、B、C是圆O上的点，线段OC与线段AB交于圆内一点P,若＝m＋2m，＝λ，则λ＝( )A． B．C． D．[答案] D[解析] ∵＝－，＝－，又＝λ，-11-\n∴－＝λ－λ，∴＝(1－λ)＋λ，∴1－λ＋λ＝1，设＝k，∵＝m＋2m，∴＝＋，∴＋＝1，∴k＝3m，∴＝＋，∴λ＝.二、填空题15．(2022·石家庄市质检)若向量a，b是两个互相垂直的单位向量，则向量a－b在向量b方向上的投影为________．[答案] －[解析] 设a－b与b的夹角为θ，∴cosθ＝，∴a－b在b方向上的投影为|a－b|cosθ＝＝＝－.16．(2022·海南六校联考)在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，＝2，点F在边CD上，若·＝3，则·＝________.[答案] －4[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，设F(x，)，∵＝(3,0)，＝(x，)，∴·＝3x＝3，∴x＝1，又∵＝2，∴E(3，)，∴＝(3，)，＝(－2，)，∴·＝－6＋2＝－4.三、解答题17．(文)已知向量m＝(2，－1)，n＝(sin，cos(B＋C))，A、B、C为△ABC-11-\n的内角，其所对的边分别为a、b、c.(1)当m·n取得最大值时，求角A的大小；(2)在(1)的条件下，当a＝时，求b2＋c2的取值范围．[解析] (1)m·n＝2sin－cos(B＋C)＝－2sin2＋2sin＋1＝－2(sin－)2＋，∵0<A<π，∴0<<，∴当sin＝，即A＝时，m·n取得最大值．(2)由＝＝＝＝2得，b＝2sinB，c＝2sinC，∵C＝π－A－B＝－B，∴b2＋c2＝4sin2B＋4sin2C＝4＋2sin(2B－)，∵0<B<，∴－<2B－<，∴－<sin(2B－)≤1，∴3<b2＋c2≤6，∴b2＋c2的取值范围为(3,6]．(理)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.[解析] (1)由a与b－2c垂直．a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2.(2)b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，|b＋c|2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β最大值为32，∴|b＋c|的最大值为4.(3)证明：由tanαtanβ＝16得sinαsinβ＝16cosαcosβ，即4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0，∴a∥b.18．(2022·福建泉州质检)已知向量a＝(2,2)，向量b与向量a的夹角为，且a·b＝－2.(1)求向量b；-11-\n(2)若t＝(1,0)且b⊥t，c＝(cosA,2cos2)，其中A，C是△ABC的内角，若三角形ABC的三内角A，B，C依次成等差数列，试求|b＋c|的取值范围．[解析] (1)设b＝(x，y)，则2x＋2y＝－2，①且|b|＝＝1，∴＝1②由①②解得或所以b＝(－1,0)或b＝(0，－1)．(2)因为A，B，C依次成等差数列，所以B＝.因为b⊥t，且t＝(1,0)，所以b＝(0，－1)．所以b＋c＝(cosA,2cos2－1)＝(cosA，cosC)，所以|b＋c|2＝cos2A＋cos2C＝1＋(cos2A＋cos2C)＝1＋cos(A＋C)cos(A－C)＝1－cos(A－C)．因为－<A－C<，所以－<cos(A－C)≤1，∴<|b＋c|2<，所以≤|b＋c|<.-11-
