【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第5章第3节平面向量的数量积及其应用北师大版一、选择题1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且(a＋b)·b＝，则向量a，b的夹角为( )A．30°B．45°C．60°D．90°[答案] C[解析] |a|＝|b|＝1，且(a＋b)·b＝a·b＋b2＝cos<a，b>＋1＝，∴cos<a，b>＝，即得<a，b>＝，故应选C．2．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa－b与a垂直，则λ＝( )A．－1B．1C．－2D．2[答案] B[解析] 由于(λa－b)·a＝λ|a|2－b·a＝10λ－10＝0，解得λ＝1，故选B．3．若e1，e2是夹角为的单位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a·b等于( )A．1B．－4C．－D．[答案] C[解析] 依题意，e1·e2＝|e1||e2|cos＝，所以a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6|e1|2＋2|e2|2＋e1·e2＝－6＋2＋＝－.4．(2022·长沙模拟)关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：(1)若a·b＝a·c，则a＝0或b＝c；(2)若a＝(1，k)，b＝(－2,6)且a⊥b，则k＝；(3)非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°.其中所有真命题的个数为( )A．0B．1C．2D．3-7-\n[答案] C[解析] 若a·b＝a·c，则a·(b－c)＝0，可得a＝0或b＝c或a⊥(b－c)，即命题(1)不正确；若a＝(1，k)，b＝(－2,6)且a⊥b，则a·b＝－2＋6k＝0，得k＝，即命题(2)正确；非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则可得出一个等边三角形，且a与a＋b的夹角为30°，即命题(3)正确，综上可得真命题有2个，故应选C．5．(2022·新课标Ⅱ)设向量a、b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝( )A．1B．2C．3D．5[答案] A[解析] 本题考查平面向量的模，平面向量的数量积．∵|a＋b|＝，|a－b|＝，∴a2＋b2＋2ab＝10，a2＋b2－2ab＝6.联立方程解得a·b＝1，故选A．6．(文)在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是( )A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形[答案] C[解析] 由(＋)·＝||2得(＋)·－||2＝0，即·(＋－)＝0，即·(2)＝0，故有⊥.(理)(2022·湖南十二校联考)设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝( )A．B．C．D．[答案] C[解析] m·n＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)即sinC＝1－cosC，所以sin(C＋)＝，-7-\n又因为C为△ABC的内角，所以C＋＝，即C＝.二、填空题7．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.[答案] [解析] 本题考查平面向量的垂直充要条件、数量积、模等．a＋c＝(3,3m)，∵(a＋c)⊥b，∴(a＋c)·b＝0，即(3,3m)·(m＋1,1)＝0，∴3(m＋1)＋3m＝0,6m＋3＝0，∴m＝－，∴a＝(1，－1)，∴|a|＝.8．过点A(－2,1)且与向量a＝(3,1)平行的直线方程为__________．[答案] x－3y＋5＝0[解析] 设P(x，y)是所求直线上任一点，＝(x＋2，y－1)，∵∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0，∴所求直线方程为x－3y＋5＝0.9．(文)(2022·江西高考)已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________.[答案] 3[解析] 本题主要考查向量的数量积及向量模的运算．∵|a|2＝a2＝(3e1－2e2)2＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2，又∵|e1|＝|e2|＝1，e1e2的夹角余弦值为∴上式＝9－12×＋4＝9∴|a|＝3，解答本题关键是掌握向量的平方等于相应向量模的平方性质．(理)(2022·江西高考)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.[答案] [解析] 本题考查平面向量数量积的性质及运算．-7-\n依题意e1·e2＝|e1||e2|cosα＝，∴|a|2＝9e－12e1·e2＋4e＝9，∴|a|＝3，|b|2＝9e－6e1·e2＋e＝8，a·b＝9e－9e1·e2＋2e＝8，∴|b|＝2，cosβ＝＝＝.三、解答题10．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的射影．[解析] (1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0a＝0.(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a＋λb与a垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.(3)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的射影为|a|cosθ.∴|a|cosθ＝＝＝－＝－.一、选择题1．(文)已知两单位向量a，b的夹角为60°，则两向量p＝2a＋b与q＝－3a＋2b的夹角为( )A．60°B．120°C．30°D．150°[答案] B[分析] 本题求解中，要注意充分利用两向量的数量积及求向量模的运算公式及方法．[解析] p·q＝(2a＋b)·(－3a＋2b)＝－6a2＋a·b＋2b2＝－6a2＋|a|·|b|·cos60°＋2b2＝－，|p|＝|2a＋b|＝＝＝＝，-7-\n|q|＝|－3a＋2b|＝＝＝＝，而cos〈p，q〉＝＝－.即p与q的夹角为120°.(理)已知两点A(1,0)为，B(1，)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝120°，设＝－2＋λ，(λ∈R)，则λ等于( )A．－1B．2C．1D．－2[答案] C[解析] 由条件知，＝(1,0)，＝(1，)，＝(λ－2，λ)，∵∠AOC＝120°，cos∠AOC＝＝，∴＝－，解之得λ＝1，故选C．2．设a、b、c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于( )A．以a、b为两边的三角形的面积B．以a、b为邻边的平行四边形的面积C．以b、c为两边的三角形的面积D．以b、c为邻边的平行四边形的面积[答案] B[解析] 由题意知a⊥c，∴|cos<b，c>|＝sin<a，b>，又|a|＝|c|，∴|b·c|＝|b|·|c|·|cos<b，c>|＝|b|·|a|·sin<a，b>，∴|b·c|表示以a、b为邻边的平行四边形的面积．二、填空题3．若OA为边，OB为对角线的矩形中，＝(－3,1)，＝(－2，k)，则实数k＝________.[答案] 4[解析] 本题考查向量的数量积及坐标运算．∵＝(－3,1)，＝(－2，k)，-7-\n∴＝－＝(1，k－1)．由题意知⊥，∴·＝0，即(－3,1)·(1，k－1)＝0.∴－3＋k－1＝0，∴k＝4.4．(文)已知a＝(cosx，sinx)，b＝(cosx，－sinx)，则函数y＝a·b的最小正周期为________．[答案] π[解析] ∵y＝a·b＝cos2x－sin2x＝cos2x，∴T＝＝π.(理)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.[答案] －16 [解析] 本题考查向量的数量积运算．如图．·＝(＋)·(＋)＝||2－||2＝32－52＝－16.三、解答题5．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．[解析] (1)由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥B．(2)因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)，所以由此得，cosα＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1得，sinα＝sinβ＝，而α>β，所以α＝，β＝.6．已知点A(1,0)，B(0,1)，C(2sinθ，cosθ)．(1)若||＝||，求tanθ的值；(2)若(＋2)·＝1，其中O为坐标原点，求sin2θ的值．[解析] (1)∵A(1,0)，B(0,1)，C(2sinθ，cosθ)，-7-\n∴＝(2sinθ－1，cosθ)，＝(2sinθ，cosθ－1)．∵||＝||，∴＝.化简得2sinθ＝cosθ.∵cosθ≠0(若cosθ＝0，则sinθ＝±1，上式不成立)．∴tanθ＝.(2)∵＝(1,0)，＝(0,1)，＝(2sinθ，cosθ)，∴＋2＝(1,2)．∵(＋2)·＝1，∴2sinθ＋2cosθ＝1.∴sinθ＋cosθ＝.∴(sinθ＋cosθ)2＝.∴sin2θ＝－.-7-
