【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第4章第2节同角三角函数的基本关系及诱导公式新人教B版一、选择题1．方程－＝1所表示的曲线为( )A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线[答案] D[解析] cos2022°＝cos(5×360°＋215°)＝cos215°＝－cos35°<0，而sin2022°＝sin(5×360°＋215°)＝sin215°＝－sin35°<0，所以该曲线为焦点在y轴上的双曲线．2．(文)(2022·广东广州模拟)已知函数f(x)＝sinx－cosx，且f′(x)＝2f(x)，则tan2x的值是( )A．－B．C．－D．[答案] C[解析] ∵f(x)＝sinx－cosx，所以f′(x)＝cosx＋sinx，于是有cosx＋sinx＝2(sinx－cosx)，整理得sinx＝3cosx，所以tanx＝3，因此tan2x＝＝＝－，故选C.(理)(2022·重庆七校联盟联考)向量a＝(，tanα)，b＝(cosα，1)，且a∥b，则锐角α的余弦值为( )A.B．C.D．[答案] D[解析] ∵a∥b，∴－tanαcosα＝0⇒sinα＝.∵α为锐角，∴cosα＝＝.3．(文)(2022·华师附中诊断)已知tanθ>1，且sinθ＋cosθ<0，则cosθ的取值范围是( )A．(－，0)B．(－1，－)C．(0，)D．(，1)[答案] A-9-\n[解析] 如图，依题意结合三角函数线进行分析可知，2kπ＋<θ<2kπ＋，k∈Z，因此－<cosθ<0.选A.(理)已知α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝，则sinα－cosα的值为( )A．－B．－C.D．[答案] D[解析] ∵sinα＋cosα＝，0<<1,0<α<π，∴<α<π，∴sinα－cosα>0.∴(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－；∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，∴sinα－cosα＝.4．(2022·湖北重点中学阶段性测试)已知函数f(x)＝则f(－2022)等于( )A.B．－C.D．－[答案] B[解析] f(－2022)＝f(2022)＝cos(＋)＝－sin＝－.5．(2022·江西师大附中、临川一中联考)＝( )A．－B．－-9-\nC.D．[答案] D[解析] 原式＝＝＝＝.6．(文)已知tan140°＝k，则sin140°＝( )A.B．C．－D．－[答案] C[解析] k＝tan140°＝tan(180°－40°)＝－tan40°，∴tan40°＝－k，∴k<0，sin40°＝－kcos40°，sin140°＝sin(180°－40°)＝sin40°，∵sin240°＋cos240°＝1，∴k2cos240°＋cos240°＝1，∴cos40°＝，∴sin40°＝.(理)已知角α的终边经过点P(sin2θ，sin4θ)，且cosθ＝，则α的正切值为( )A．－B．－1C.D．1[答案] B[解析] tanα＝＝＝2cos2θ＝2(2cos2θ－1)＝2(2×－1)＝－1，故选B.[点评] 怎样计算任意角的三角函数值计算任意角的三角函数值，主要是运用诱导公式化任意角三角函数为锐角三角函数，其一般步骤是：(1)负化正：当已知角为负角时，先利用－α的诱导公式把这个角的三角函数值化为正角的三角函数值；(2)正化主：当已知角不在区间[0°，360°)时，可用k·360°＋α的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间[0°，360°)上的角的三角函数值；(3)主化锐：当已知角是90°到360°间的角时，可利用180°±α，360°－α的诱导公式把这个角的三角函数值化为0°到90°间的角的三角函数值(对于非特殊角用查表或用计算器求出结果)．二、填空题7．(2022·杭州调研)设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z)．若f(2014)＝－5，则f(2015)＝________.-9-\n[答案] 5[解析] ∵f(2014)＝asin(2014π＋α)＋bcos(2014π＋β)＝asinα＋bcosβ＝－5，∴f(2015)＝asin(2015π＋α)＋bcos(2015π＋β)＝－asinα－bcosα＝5.8．(文)＝________.[答案] 1[解析] 原式＝＝＝＝1.(理)(2022·上海六校二联)已知α∈(，π)，sinα＝，则tanα＝________.[答案] －[解析] ∵α∈(，π)，∴cosα＝－＝－，∴tanα＝＝－.9．设a＝，b＝，c＝cos81°＋sin99°，将a、b、c用“<”号连接起来________．[答案] b<c<a[解析] a＝＝＝sin140°，b＝＝＝sin142°，c＝sin60°cos81°＋cos60°sin81°＝sin141°，∵y＝sinx在(90°，180°)内单调递减，∴a>c>b.三、解答题10．(2022·山东青岛阶段测试)是否存在α∈(－，)，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝·cos(－β)，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．[解析] 由条件，得①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2，∴cos2α＝.又∵α∈(－，)，∴α＝或α＝－.-9-\n将α＝代入②，得cosβ＝.又β∈(0，π)，∴β＝，代入①可知符合．将α＝－代入②，得cosβ＝.又β∈(0，π)，∴β＝，代入①可知不符合．综上可知，存在α＝，β＝满足条件.一、选择题11．(2022·浙江金华一中月考)△ABC的内角A满足tanA－sinA<0，sinA＋cosA>0，则角A的取值范围是( )A．(0，)B．(，)C．(，π)D．(π，π)[答案] C[解析] 由tanA－sinA<0及A为△ABC的内角知，A为钝角，排除A、B；再由sinA＋cosA>0知，A<，排除D，选C.[点评] ①可取特值检验，取A＝，，排除A、B、D；②可利用单位圆中的三角函数线求解．12．(2022·龙岩月考)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝( )A．－B．－C.D．[答案] A[解析] 由sinα＋cosα＝平方得：1＋sin2α＝，即sin2α＝－.又α为第二象限角，∴sinα>0，cosα<0，-9-\n∴cosα－sinα＝－＝－.∴cos2α＝cos2α－sin2α＝×(－)＝－.故选A.解答本题要注意到sinα±cosα与sinαcosα之间的关系．13．(文)已知α∈，cosα＝，则tan2α等于( )A．－B．C．－D．[答案] A[解析] ∵－<α<0，cosα＝，∴sinα＝－＝－，∴tanα＝＝－，∴tan2α＝＝－，故选A.(理)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且a＋c＝3，tanB＝，则△ABC的面积为( )A. B． C. D．[答案] A[解析] ∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，∵tanB＝，∴sinB＝，cosB＝，∵a＋c＝3，b2＝a2＋c2－2accosB，∴ac＝2，∴S△ABC＝acsinB＝.14．(文)已知＝5，则sin2α－sinαcosα的值是( )A.B．－C．－2D．2[答案] A[解析] 由＝5得＝5，即tanα＝2.所以sin2α－sinαcosα＝＝＝.-9-\n(理)已知函数f(x)＝sinx－cosx且f′(x)＝2f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，则＝( )A．－B．C.D．－[答案] A[解析] f′(x)＝cosx＋sinx，∵f′(x)＝2f(x)，∴cosx＋sinx＝2(sinx－cosx)，∴tanx＝3，∴＝＝＝＝－.二、填空题15．(文)(2022·烟台调研)若sin(π＋α)＝，α∈(－，0)，则tanα＝________.[答案] －[解析] ∵sin(π＋α)＝－sinα＝，∴sinα＝－，又α∈(－，0)，∴α＝－，tanα＝tan(－)＝－.(理)(2022·上海崇明期末)若tan(－θ)＝，则sinθcosθ＝________.[答案] [解析] tan(－θ)＝＝，得tanθ＝，∴sinθcosθ＝＝＝＝.16．已知函数f(x)＝，则f[f(2022)]＝________.[答案] －1[解析] 由f(x)＝得，f(2022)＝2022－102＝1912，f(1912)＝2cos＝2cos(637π＋)＝－2cos＝－1，故f[f(2022)]＝－1.三、解答题17．(2022·长沙一中月考)已知6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0，α∈(，2π)．(1)求tanα的值；(2)求cos(α＋)的值．-9-\n[解析] (1)∵α∈(，2π)，∴cosα≠0，∵6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0，解得tanα＝－或tanα＝.∵α∈(，2π)，∴tanα<0.故tanα＝(舍去)，∴tanα＝－.(2)∵α∈(，2π)，∴由tanα＝－，求得sinα＝－，cosα＝.∴cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝×－(－)×＝.18．(文)(2022·龙湾中学月考)已知向量a＝(cosα，1)，b＝(－2，sinα)，α∈，且a⊥b.(1)求sinα的值；(2)求tan的值．[解析] (1)∵a＝(cosα，1)，b＝(－2，sinα)，且a⊥b.∴a·b＝(cosα，1)·(－2，sinα)＝－2cosα＋sinα＝0.∴cosα＝sinα.∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝.∵α∈，∴sinα＝－.(2)由(1)可得cosα＝－，则tanα＝2.tan＝＝－3.(理)(2022·沈阳监测)已知函数f(x)＝sinx－cosx＋2，记函数f(x)的最小正周期为β，向量a＝(2，cosα)，b＝(1，tan(α＋))(0<α<)，且a·b＝.(1)求f(x)在区间[，]上的最值；(2)求的值．[解析] (1)f(x)＝sinx－cosx＋2＝2sin(x－)＋2，-9-\n∵x∈[，]，∴x－∈[，π]，∴sin(x－)∈[0,1]，∴f(x)的最大值是4，最小值是2.(2)由题意知β＝2π，∴a·b＝2＋cosαtan(α＋π)＝2＋sinα＝，∴sinα＝，∴＝＝2cosα＝2＝.-9-
