【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第4章第2节同角的三角函数基本关系式与诱导公式北师大版一、选择题1．sin600°＋tan240°的值是( )A．－ B．C．－＋ D．＋[答案] B[解析] sin600°＋tan240°＝sin240°＋tan240°＝sin(180°＋60°)＋tan(180°＋60°)＝－sin60°＋tan60°＝－＋＝.2．(文)若tanα＝2，则的值为( )A．0 B．C．1 D．[答案] B[解析] ＝＝＝.(理)已知tanθ＝2，则＝( )A．2 B．－2C．0 D．[答案] B[解析] ＝＝＝＝－2.3．已知sinα＝，α∈(，)，则cos(π－α)＝( )A．－ B．－-9-\nC． D．[答案] D[解析] 由诱导公式，得cos(π－α)＝－cosα.∵cos2α＝1－sin2α＝1－＝，又sinα>0且α∈(，)，∴cosα＝－，∴cos(π－α)＝.4．(文)“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tanx＝1”成立的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] tan(2kπ＋)＝tan＝1(k∈Z)；反之tanx＝1，则x＝kπ＋(k∈Z)．所以“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tanx＝1”的充分不必要条件．(理)“θ＝”是“tanθ＝2cos(＋θ)”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵tanθ＝2cos(＋θ)＝－2sinθ，即＝－2sinθ.∴sinθ＝0或cosθ＝－.显然θ＝时，cosθ＝－，但sinθ＝0时，θ≠π.故“θ＝”是“tanθ＝2cos(＋θ)”的充分不必要条件．5．(文)(2022·深圳调研)若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值等于( )A．－2 B．2C．－2或2 D．0[答案] D-9-\n[解析] 原式＝＋，由题意知角α的终边在第二、四象限，sinα与cosα的符号相反，所以原式＝0.(理)(2022·桂林调研)若tanθ＋＝4，则sin2θ的值为( )A． B．C． D．[答案] D[解析] ∵tanθ＋＝＝4，∴4tanθ＝1＋tan2θ，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝＝.6．若α为三角形的一个内角，且sinα＋cosα＝，则这个三角形是( )A．正三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形[答案] D[解析] ∵(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝，∴sinαcosα＝－<0，∴α为钝角，故选D．二、填空题7．若sin(π＋α)＝－，α∈(，π)，则cosα＝________.[答案] －[解析] ∵sin(π＋α)＝－sinα，∴sinα＝，又α∈(，π)，∴cosα＝－＝－.8．如果sinα＝，且α为第二象限角，则sin(＋α)＝________.-9-\n[答案] [解析] ∵sinα＝，且α为第二象限角，∴cosα＝－＝－＝－，∴sin(＋α)＝－cosα＝.9．(2022·杭州调研)设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z)．若f(2014)＝－5，则f(2015)＝________.[答案] 5[解析] ∵f(2014)＝asin(2014π＋α)＋bcos(2014π＋β)＝asinα＋bcosβ＝－5，∴f(2015)＝asin(2015π＋α)＋bcos(2015π＋β)＝－asinα－bcosα＝5.三、解答题10．(文)已知cos(π＋α)＝－，且α在第四象限，计算：(1)sin(2π－α)；(2)(n∈Z)．[解析] ∵cos(π＋α)＝－.∴－cosα＝－，cosα＝，又∵α在第四象限，∴sinα＝－＝－.(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sinα＝.(2)＝＝＝＝－＝－4.-9-\n(理)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，求下列各式的值：(1)sinα－cosα；(2)sin3＋cos3.[分析] (1)化简已知条件sinα＋cosα＝，再平方求sinαcosα则可求(sinα－cosα)2，最后得sinα－cosα.(2)化简cos3α－sin3α，再因式分解并利用(1)求解．[解析] 由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，得sinα＋cosα＝，两边平方，得1＋2sinα·cosα＝，故2sinα·cosα＝－.又<α<π，∴sinα>0，cosα<0.(1)(sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα＝1－＝，∴sinα－cosα＝.(2)sin3＋cos3＝cos3α－sin3α＝(cosα－sinα)(cos2α＋cosα·sinα＋sin2α)＝－×＝－.一、选择题1．(2022·新课标Ⅰ)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tanα＝，则( )A．3α－β＝ B．3α＋β＝C．2α－β＝ D．2α＋β＝[答案] C[解析] 本题考查了诱导公式以及三角恒等变换．运用验证法．-9-\n解法1：当2α－β＝时，β＝2α－，所以＝＝＝tanα.解法2：∵tanα＝＝，∴sin(α－β)＝cosα＝sin(－α)，∵α、β∈(0，)，∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)，∴α－β＝－α，∴2α－β＝.2．已知cos＝，则cos－sin2的值是( )A． B．－C． D．[答案] B[解析] ∵cos＝cos＝－cos＝－，而sin2＝1－cos2＝1－＝，∴原式＝－－＝－.二、填空题3．已知α∈(π，2π)，sin(α－)＝－，则sin(3π＋α)的值为________．[答案] [解析] sin(α－)＝－sin(－α)＝－sin(－－α)＝sin(＋α)＝cosα＝－，又α∈(π，2π)，∴sinα＝－.-9-\n∴sin(3π＋α)＝sin(π＋α)＝－sinα＝.4．设函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导数，若f(x)＝2f′(x)，则＝________.[答案] －[解析] ∵f(x)＝sinx＋cosx，∴f′(x)＝cosx－sinx，∴sinx＋cosx＝2(cosx－sinx)，即3sinx＝cosx，得tanx＝，于是＝＝tan2x－2tanx＝－＝－.三、解答题5．已知f(x)＝(n∈Z)．(1)化简f(x)的表达式；(2)求f()＋f()的值．[解析] (1)当n为偶函数，即n＝2k(k∈Z)时，f(x)＝＝＝＝sin2x；当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，f(x)＝＝＝＝＝sin2x，综上得f(x)＝sin2x.(2)由(1)得f()＋f()＝sin2＋sin2＝sin2＋sin2(－)＝sin2＋cos2＝1.-9-\n6．(文)已知sinθ，cosθ是方程x2－(－1)x＋m＝0的两根．(1)求m的值；(2)求＋的值．[解析] (1)由韦达定理可得，由①得1＋2sinθ·cosθ＝4－2.将②代入得m＝－，满足Δ＝(－1)2－4m≥0，故所求m的值为－.(2)先化简：＋＝＋＝＋＝＝cosθ＋sinθ＝－1.(理)已知A、B、C是三角形的内角，sinA，－cosA是方程x2－x＋2a＝0的两根．(1)求角A．(2)若＝－3，求tanB．[解析] (1)由已知可得，sinA－cosA＝1①又sin2A＋cos2A＝1，∴sin2A＋(sinA－1)2＝1，即4sin2A－2sinA＝0，得sinA＝0(舍去)，sinA＝，∴A＝或，将A＝或代入①知A＝π时不成立，∴A＝.(2)由＝－3，得sin2B－sinBcosB－2cos2B＝0，∵cosB≠0，∴tan2B－tanB－2＝0，∴tanB＝2或tanB＝－1.-9-\n∵tanB＝－1使cos2B－sin2B＝0，舍去，故tanB＝2.-9-
