【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第12章第4节直接证明与间接证明北师大版一、选择题1．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )A．lg(1＋a2)>0B．a2＋b2≥2(a－b－1)C．a2＋3ab>2b2D．<[答案] B[解析] 在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．2．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ过程应用了( )A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合应用D．间接证明法[答案] B[解析] 因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证<a”“索”的“因”应是( )A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0[答案] C[解析] <a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.4．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件有( )A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] C[解析] 由均值不等式成立的条件知a，b同号，故①③④都可以．5．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数-5-\n[答案] B[解析] “至少有一个”的否定是“都不是”．6．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P、Q的大小关系是( )A．P>QB．P＝QC．P<QD．由a的取值确定[答案] C[解析] ∵要证P<Q，只要证P2<Q2，只要证：2a＋7＋2<2a＋7＋2，只要证：a2＋7a<a2＋7a＋12，只要证：0<12，∵0<12成立，∴P<Q成立．二、填空题7．已知命题：“在等差数列{an}中，若4a2＋a10＋a()＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为________．[答案] 18[解析] S11＝＝11a6，由S11为定值，可知a6＝a1＋5d为定值．设4a2＋a10＋an＝24，整理得a1＋d＝4，可知n＝18.8．(2022·北京高考)顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为________个工作日．[答案] 42[解析] 本题考查了逻辑思维能力．先由徒弟对原料B进行粗加工需6个工作日，此后由工艺师精加工原料B，期间徒弟完成原料A的粗加工，工艺师完成原料B后，再完成原料A的精加工，∴最短共需6＋21＋15＝42个工作日．9．α，β，γ是三个平面，a，b是两条直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，aγ.如果命题“α∩β＝a，bγ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________．[答案] ①或③[解析] 若填入①，则由a∥γ，bβ，bγ，b＝β∩γ，则a∥B．若填入③，则由aγ，a＝α∩β，则a＝(α∩β∩γ)，又bγ，b∥β，则b∥A．若填入②，不能推出a∥b，可以举出反例，例如使β∥γ，bγ，aβ，则此时能有a∥γ，b∥β，但不一定a∥B．或直接通过反例否定②.三、解答题-5-\n10．已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．(1)求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)求证：方程f(x)＝0没有负根．[证明] (1)解法1：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1<x2，则x2－x1>0，ax2－x1>1且ax1>0，∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0.又∵x1＋1>0，x2＋1>0，∴－＝＝>0，于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．解法2：f(x)＝ax＋1－(a>1)，求导数得f′(x)＝axlna＋，∵a>1，∴当x>－1时，axlna>0，>0，∴f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)解法1：设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，则ax0＝－，且0<ax0<1，∴0<－<1，即<x0<2，与假设x0<0矛盾，故方程f(x)＝0没有负根．解法2：设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，①若－1<x0<0，则<－2，ax0<1，∴f(x0)<－1与f(x0)＝0矛盾．②若x0<－1，则>1，ax0>0，∴f(x0)>1与f(x0)＝0矛盾．故方程f(x)＝0没有负根.一、选择题1．(2022·山东高考)用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )-5-\nA．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根[答案] A[解析] 至少有一个实根的否定为：没有实根．2．给出如下三个命题：①四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad＝bc；②设a，b∈R，且ab≠0，若<1，则>1；③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中不正确命题的序号是( )A．①②B．②③C．①③D．①②③[答案] A[解析] ①中，a，b，c，d成等比数列⇒ad＝bc，但ad＝bc⇒/dc＝cb＝bA．②中，若<1，则的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以②错误；③中，f(|x|)＝log2|x|的定义域是{x|x∈R且x≠0}，且f(|x|)＝f(|－x|)成立，故f(|x|)是偶函数，③正确，所以答案是A．二、填空题3．已知函数f(x)＝ax＋2a＋1，当x∈[－1,1]时，f(x)有正值也有负值，则实数a的取值范围为____________．[答案] －1＜a＜－[解析] 由题意得f(x)＝ax＋2a＋1为斜率不为0的直线，由单调性知f(1)·f(－1)＜0即可．∴(a＋2a＋1)·(2a－a＋1)＜0.∴－1＜a＜－.4．请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a＋a＝1，那么a1＋a2≤.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1.因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤.类比上述结论，若n个正实数满足a＋a＋…＋a＝1，你能得到的结论为________．[答案] a1＋a2＋…＋an≤(n∈N*)[解析] 构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1，∵f(x)≥0对任意实数x都成立，∴Δ＝4(a1＋a2＋…＋an)2－4n≤0，∵a1，a2，…，an都是正数，∴a1＋a2＋…＋an≤.三、解答题5．已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点(，an＋1)(n∈N＋)在函数y＝x2＋1的图像上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求证：bn·bn＋2<b.[解析] (1)由已知得an＋1＝an＋1，即an＋1－an＝1，-5-\n又a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，公差为1的等差数列．故an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知：an＝n从而bn＋1－bn＝2n，bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.因为bnbn＋2－b＝(2n－1)(2n＋2－1)－(2n＋1－1)2＝22n＋2＝－2n＋2－2n＋1－(22n＋2－2×2n＋1＋1)＝－5×2n＋4×2n－2n<0，所以bnbn＋2<b.6．设f(x)＝(a≠2)．(1)用反证法证明：函数f(x)不可能为偶函数；(2)求证：函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减的充要条件是a>2.[解析] (1)假设函数f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)，即＝，解得a＝2，这与a≠2矛盾，所以函数f(x)不可能是偶函数．(2)因为f(x)＝，所以f′(x)＝.①充分性：当a>2时，f′(x)＝<0，所以函数f(x)在(－∞，－1)单调递减；②必要性：当函数f(x)在(－∞，－1)单调递减时，有f′(x)＝≤0，即a≥2，又a≠2，所以a>2.综合①②知，原命题成立．-5-
