【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第11章第9节离散型随机变量的均值与方差、正态分布(理)北师大版一、选择题1．已知随机变量X的分布列X－101P0.50.30.2则DX＝( )A．0.7 B．0.61C．－0.3D．0.2[答案] B[解析] EX＝(－1)×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，DX＝(－1＋0.3)2×0.5＋(0＋0.3)2×0.3＋(1＋0.3)2×0.2＝0.61.2．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的均值为( )A．100B．200C．300D．400[答案] B[解析] 本题以实际问题为背景，考查服从二项分布的事件的均值等．记“不发芽的种子数为X”，则X～B(1000,0.1)，所以EX＝1000×0.1＝100，则E(2X)＝2EX＝200，故选B．3．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)．若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )A．0.477B．0.628C．0.954D．0.977[答案] C[解析] ∵μ＝0，∴P(ξ>2)＝P(ξ<－2)＝0.023，∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.4．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后剩余子弹的数目X的均值为( )A．2.44B．3.376C．2.376D．2.4[答案] C[解析] X＝0,1,2,3，此时P(X＝0)＝0.43，P(X＝1)＝0.6×0.42，P(X＝2)＝0.6×0.4，-7-\nP(X＝3)＝0.6，EX＝2.376.故选C．5．设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋X＝0无实数根的概率为，则μ等于( )A．1B．2C．4D．不能确定[答案] C[解析] 因为方程x2＋4x＋X＝0无实数根的概率为，由Δ＝16－4X<0，得X>4，即P(X>4)＝＝1－P(X≤4)，故P(X≤4)＝，∴μ＝4.6．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其它得分情况)，则ab的最大值为( )A．B．C．D．[答案] D[解析] 据已知可得投篮一次得分的期望为3a＋2b＝2，根据均值不等式得3a＋2b＝2≥2⇒ab≤，当且仅当3a＝2b＝1时取得等号．二、填空题7．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次实验成功，则在10次实验中，成功次数X的期望是________．[答案] [解析] 由题意一次试验成功的概率为1－×＝，10次试验为10次独立重复试验，则成功次数X～B(10，)，所以EX＝.8．已知随机变量X的分布列为-7-\nX12345P0.10.20.40.20.1则EX＝________，DX＝________.[答案] 3 1.2[解析] EX＝1×0.1＋2×0.2＋3×0.4＋4×0.2＋5×0.1＝0.1＋0.4＋1.2＋0.8＋0.5＝3.DX＝(1－3)2×0.1＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.4＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.1＝1.2.9．(2022·浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2，若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.[答案] [解析] 设ξ＝1的概率为P.则E(ξ)＝0×＋1×P＋2(1－P－)＝1，∴P＝.故D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝三、解答题10．(2022·安徽高考)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．[解析] 用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5.(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＝()2＋×()2＋××()2＝.(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝，-7-\nP(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝，P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝，P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.故X的分布列为X2345PE(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.一、选择题1．已知随机变量X的分布列为X－101P则下列式子中：①EX＝－；②DX＝；③P(X＝0)＝.正确的个数是( )A．0B．1C．2D．3[答案] C[解析] EX＝(－1)×＋0×＋1×＝－，故①正确；DX＝(－1＋)2×＋(0＋)2×＋(1＋)2×＝，故②不正确，③显然正确，应选C．2．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元．节后卖不出的鲜花以每束1.6元价格处理，根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花500束，则期望利润是( )X200300400500P0.200.350.300.15A．706元B．690元C．754元D．720元-7-\n[答案] A[解析] 节日期间预售的量：EX＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340(束)．则期望的利润：η＝5X＋1.6(500－X)－500×2.5＝3.4X－450.∴Eη＝3.4EX－450＝3.4×340－450＝706(元)．∴期望利润为706元．二、填空题3．(2022·辽阳质检)两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望Eξ＝________.[答案] [解析] 当ξ＝1时，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，∴Eξ＝1×＋2×＝.4．抛掷一枚硬币，正面向上记1分，反面向上记2分，若一共抛出硬币4次，且每一次抛掷的结果相互之间没有影响，则总得分X的均值EX＝________.[答案] 6[解析] 抛掷4次可能出现的结果是四反、一正三反、二正二反、三正一反、四正，其中对应的分数分别为8、7、6、5、4所以X的取值为4、5、6、7、8.设对应的概率的值分别为P1、P2、P3、P4、P5，则X45678PP1P2P3P4P5P1＝C4＝，P2＝C3·＝，P3＝C22＝，P4＝C3＝，P5＝C4＝，EX＝4×＋5×＋6×＋7×＋8×＝6.三、解答题-7-\n5．(2022·陕西高考)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．[分析] 在(1)问中，结合问题，先设出基本事件，可知有四种可能，利用所给数据，结合独立事件的概率计算公式，可分别计算出结果，进而列出分布列．对于第(2)问，利用(1)问的结果，可求得每季利润不少于2000元的概率，则3季利润至少有2季不少于2000元可分为两类，一是3季利润均不少于2000元，二是3季中有2季利润不少于2000元，分别利用独立重复试验的概率计算公式计算出概率，相加便可得出结论．[解析] (1)设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，∵利润＝产量×市场价格－成本，∴X所有可能的取值为500×10－1000＝4000,500×6－1000＝2000，300×10－1000＝2000,300×6－1000＝800，P(X＝4000)＝P()P()＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝2000)＝P()P(B)＋P(A)P()＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，所以X的分布列为X40002000800P0.30.50.2(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i＝1,2,3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1,2,3)，3季的利润均不少于2000元的概率为-7-\nP(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；3季中有2季利润不少于2000元的概率为P(1C2C3)＋P(C12C3)＋P(C1C23)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0．512＋0.384＝0.896.6．在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名，观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．[解析] (1)由于观众甲必选1，不选2，则观众甲选中3号歌手的概率为＝，观众乙未选中3号歌手的概率为＝，甲乙选票彼此独立，故观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为×＝.(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.由(1)知，观众甲选中3号歌手的概率为观众乙选中3号歌手的概率为1－＝，则观众丙选中3号歌手的概率也为1－＝，则P(X＝0)＝(1－)×(1－)2＝P(X＝1)＝×(1－)2＋(1－)×2××(1－)＝＝P(X＝2)＝×2××(1－)＋(1－)×()2＝＝P(X＝3)＝×()2＝＝则X的分布列如下：X0123PEX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.-7-
