【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第11章第7节离散型随机变量及其分布列(理)北师大版一、选择题1．下列表中能成为随机变量X的分布列的是( )A．X－101P0.30.40.4B．X123P0.30.7－0.1C．X－101P0.30.40.3D．X123P0.30.40.4[答案] C[解析] 选项A，D三个概率之和为1.1>1，故A、D错误；选项B中P(X＝3)＝－0.1错误，故选C．2．若离散型随机变量X的分布列为：X01P9c2－c3－8c则常数c的值为( )A．或B．C．D．1[答案] C[解析] 由∴c＝.3．(教材改编题)袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为( )A．25B．10C．7D．6-6-\n[答案] C[解析] X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9，共7种．4．(2022·衡阳模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值是( )A．B．C．D．[答案] C[解析] {X＝4}表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故P(X＝4)＝＝.5．从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是( )A．B．C．D．[答案] B[解析] 设随机变量X表示取出次品的个数，则X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3，它的可能的取值为0,1,2，相应的概率为P(X＝1)＝＝.6．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是( )A．P(X＝2)B．P(X≤2)C．P(X＝4)D．P(X≤4)[答案] C[解析] X服从超几何分布，基本事件总数为C，事件数为CC.∴P(X＝4)＝.二、填空题7．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1,2，…)，则P(2≤X≤4)等于________．[答案] [解析] P(2≤X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝.-6-\n8．设随机变量X的分布列为X12345P0.40.10.20.2p则p＝________；P(3<X≤5)＝________.[答案] 0.1 0.3[解析] i＝1⇒0.4＋0.1＋0.2＋0.2＋p＝1⇒p＝0.1，P(3<X≤5)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝0.2＋0.1＝0.3.9．某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为________；若从调查小组中的公务员和教师中随机选2个撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员的概率为________.相关人员数抽取人数公务员32x教师48y自由职业者644[答案] 9 [解析] 由自由职业者64人抽取4人可得，每一个个体抽入样的概率为＝，则公务员应当抽取32×＝2人，教师应当抽取48×＝3人，由此可得调查小组共有2＋3＋4＝9人．从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员的概率为P＝＝.三、解答题10．(2022·天津高考)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．[解析] (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝.-6-\n所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能值为0、1、2、3.P(X＝k)＝(k＝0、1、2、3)所以，随机变量X的分布列是X0123P随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.一、选择题1．在100张奖券中，有4张有奖，从这100张奖券中任意抽取2张，则2张都中奖的概率为( )A．B．C．D．[答案] C[解析] 由题意知，中奖奖券的张数服从超几何分布．∴P(X＝2)＝＝.2．(2022·烟台模拟)随机变量X的概率分布列规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(<X<)的值为( )A．B．C．D．[答案] D[解析] 因为P(X＝n)＝＝a(－)，所以(X＝n)＝a(1－＋－＋－＋－)＝a＝1，-6-\n解得a＝.因此P(<X<)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＝.二、填空题3．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．[答案] －1,0,1,2,3[解析] X＝－1，甲抢到一题但答错了．X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，回答时一对一错．X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对，X＝2时，甲抢到2题均答对．X＝3时，甲抢到3题均答对．4．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________．[答案] η012P[解析] η的所有可能值为0,1,2.P(η＝0)＝＝，P(η＝1)＝＝，P(η＝2)＝＝.∴η的分布列为η012P三、解答题5．一个袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回去，直到取到白球为止，求取球次数的分布列．-6-\n[解析] 设取球次数为X，则X的可能取值为1,2,3,4,5，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，∴随机变量X的分布列为：X12345P6.(2022·重庆高考)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列及数学期望．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．)[解析] (1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P＝＝.(2)X的所有可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.P(X＝3)＝＝.故X的分布列为X123P从而E(X)＝1×＋2×＋3×＝.-6-
