第十二章概 率第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差1.[2021八省市新高考适应性考试]一台设备由三个部件构成,假设在一天的运转中,部件1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3,各部件的状态相互独立.(1)求设备在一天的运转中,部件1,2中至少有1个需要调整的概率;(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X,求X的分布列及数学期望.2.[2021惠州四校联考(二)]教育部《关于进一步加强学校体育工作的若干意见》中指出:提高学生的体质健康水平应作为落实教育规划纲要和办好人民满意教育的重要任务.惠州市多所中小学校积极响应教育部的号召,增设了多项体育课程.为了解全市中小学生排球和足球这两项体育运动的参与情况,在全市中小学校中随机抽取了10所学校(记为A,B,C,…,J),10所学校的参与人数统计图如图12-3-1:(1)若从这10所学校中随机选取2所学校进行调查,求选出的2所学校参与足球运动的人数都超过40的概率;(2)现有一名排球教练在这10所学校中随机选取3所学校进行指导,记X为教练选中参与排球运动的人数在30以上的学校的个数,求X的分布列和数学期望.\n3.[2021四川宜宾一诊][情境创新]第七次全国人口普查登记于2020年11月1日开始,这是在我国人口发展进入关键期开展的一次重大国情国力调查,可以为编制“十四五”规划,为推动高质量发展,完善人口发展战略和政策体系、促进人口长期均衡发展提供重要信息支持,本次普查主要调查人口和住户的基本情况.某校高三一班共有学生54名,按人口普查要求,所有住校生按照集体户进行申报,所有非住校生(走读生及半走读生)按原家庭申报,已知该班住校生与非住校生人数的比为7∶2,住校生中男生占47,现从住校生中采用分层抽样的方法抽取7名学生担任集体户户主进行人口普查登记.(1)应从住校的男生、女生中各抽取多少人?(2)若从抽出的7名户主中随机抽取3人进行普查登记培训.①求这3人中既有男生又有女生的概率;②用X表示抽取的3人中女生户主的人数,求随机变量X的分布列与数学期望.4.[2020石家庄市重点高中高三摸底测试]某饮料公司为从A,B两款新配方饮料中选择一款进行新品推介,对这两款饮料进行了市场调查,让接受调查的受访者同时饮用这两款饮料,并分别对其进行评分.现对接受调查的100万名受访者的评分(单位:分)进行整理,得到如图12-3-2(1)(2)所示的统计图.分析调查数据可以得出如下结论:评分在[0,60)内的受访者中有20%会购买,评分在[60,80)内的受访者中有60%会购买,评分在[80,100]内的受访者中有90%会购买. (1) (2)图12-3-2(1)在受访的100万人中,对A款饮料的评分在60分以下的有多少万人?\n(2)用频率估计概率,现从受访者中随机抽取1人进行调查,试估计该受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性的概率.(3)如果你是决策者,新品推介你会主推哪一款饮料,并说明你的理由.5.[2021济南重点高中一检]甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者赢得比赛,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果互相独立.(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率.(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分,对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.6.[2020河南八市联考]有一名高中学生盼望2021年进入某大学学习,假设具备以下条件之一均可被该大学录取:①2021年年初通过M考试进入国家数学奥赛集训队(M考试资格需要通过参加N比赛获得);②2021年3月参加自主招生考试,考试通过,参加2021年6月高考且高考分数达到本科一批分数线;③2021年6月参加高考且分数达到该校录取分数线(该校录取分数线高于本科一批分数线).已知该学生具备参加N比赛、自主招生考试和高考的资格,且该学生估计自己通过各种考试的概率如下表:获得M考试资格通过自主招生考试高考分数达到本科一批分数线高考分数达到该校录取分数线\n0.50.60.90.7若该学生获得M考试资格,则该学生估计自己进入国家数学奥赛集训队的概率是0.2,若进入国家数学奥赛集训队,则提前录取,若未被录取,则按②③的顺序依次尝试.若该学生因具备某一条件被录取后,不再考虑是否具备后面的条件.(1)求该学生参加自主招生考试的概率;(2)求该学生参加考试的次数X的分布列及数学期望;(3)求该学生被该校录取的概率.7.[2020武汉市部分学校质量监测]武汉又称江城,是湖北省省会,中国中部地区中心城市,它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化,更有着众多旅游景点,每年来武汉参观旅游的人数不胜数,其中黄鹤楼与东湖被称为武汉的两张名片.为合理配置旅游资源,现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查,若不游玩东湖记1分,继续游玩东湖记2分,每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为12,游客之间选择意愿相互独立.(1)从游客中随机抽取3人,记总得分为随机变量X,求X的分布列与数学期望.(2)(i)若从游客中随机抽取m人,记总得分恰为m的概率为Am,求数列{Am}的前10项和;(ii)在对所有游客进行随机问卷调查的过程中,记已调查过的累计得分恰为n的概率为Bn,探讨Bn与Bn-1之间的关系,并求数列{Bn}的通项公式.8.[2021重庆巴蜀中学模拟][角度创新]为了提高学生学习的效果,某中学提出了两种学习激励方案,其中甲方案:课前预习并完成同步小练习可以获得70分,课前预习但没有完成同步小练习可以获得10分,没有课前预习也没有完成同步小练习则扣除20分(即获取-20分),\n调查发现甲方案中三种情况出现的概率分别为16,13,12.乙方案:每天多做一套试题则获得80分,若没有多做一套试题则扣除20分(即获取-20分),每天多做一套试题的概率为p(0<p<1).每位同学可以参与两次甲方案或乙方案(甲、乙两种方案不能都参与,只能选择其一),且两次方案互不影响.规定参与两次方案后获得的分数为正,则获得学校的嘉奖;获得的分数为负,则没有嘉奖.(1)若p=14,试问学生选择哪种方案更容易获得嘉奖?请说明理由.(2)当p在什么范围内取值时,学生参与两次乙方案后取得的平均分更高?答案第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差1.(1)部件1,2中至少有1个需要调整的概率为1-(1-0.1)×(1-0.2)=0.28.(2)由题意可知,部件1,2,3不需要调整的概率分别为0.9,0.8,0.7,P(X=0)=0.9×0.8×0.7=0.504,P(X=1)=0.9×0.8×0.3+0.9×0.2×0.7+0.1×0.8×0.7=0.398,P(X=2)=0.9×0.2×0.3+0.1×0.8×0.3+0.1×0.2×0.7=0.092,P(X=3)=0.1×0.2×0.3=0.006,则X的分布列为X0123P0.5040.3980.0920.006则E(X)=0×0.504+1×0.398+2×0.092+3×0.006=0.6,即X的数学期望为0.6.2.(1)由统计图知,参与足球运动的人数超过40的学校共4所,记“选出的2所学校参与足球运动的人数都超过40”为事件S,从这10所学校中随机选取2所学校,可得基本事件总数为C102=45,其中事件S所包含的基本事件个数为C42=6,\n所以P(S)=645=215,所以选出的2所学校参与足球运动的人数都超过40的概率为215.(2)由统计图知,参与排球运动的人数在30以上的学校共4所,则X的所有可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C40·C63C103=16,P(X=1)=C41·C62C103=12,P(X=2)=C42·C61C103=310,P(X=3)=C43·C60C103=130.所以X的分布列为X0123P1612310130E(X)=0×16+1×12+2×310+3×130=65,所以随机变量X的数学期望为65.3.(1)由已知,住校生中男生占47,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此男生、女生就分别抽取4人,3人.(2)①设事件A为“抽取的3名户主中既有男生,又有女生”,设事件B为“抽取的3名户主中男生有1人,女生有2人”;事件C为“抽取的3名户主中男生有2人,女生有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥,P(B)=C41C32C73=1235,P(C)=C42C31C73=1835,故P(A)=P(B)+P(C)=67,所以事件A发生的概率为67.②随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,P(x=k)=Ck3C43-kC73(k=0,1,2,3),随机变量X的分布列为X0123\nP43518351235135随机变量X的数学期望E(X)=0×435+1×1835+2×1235+3×135=97.4.(1)由A款饮料的评分饼状图,得对A款饮料的评分在60分以下的频率为0.05+0.15=0.2,∴对A款饮料的评分在60分以下的有100×0.2=20(万人).(2)设“受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性”为事件C.记“受访者购买A款饮料的可能性是20%”为事件A1;“受访者购买A款饮料的可能性是60%”为事件A2;“受访者购买A款饮料的可能性是90%”为事件A3;“受访者购买B款饮料的可能性是20%”为事件B1;“受访者购买B款饮料的可能性是60%”为事件B2;“受访者购买B款饮料的可能性是90%”为事件B3.则P(A1)=0.05+0.15=0.2,P(A2)=0.1+0.2=0.3,P(A3)=0.15+0.35=0.5,P(B1)=5+5100=0.1,P(B2)=15+20100=0.35,P(B3)=15+40100=0.55.∵事件Ai与Bj相互独立,其中i,j=1,2,3,∴P(C)=P(A2B1+A3B1+A3B2)=P(A2)P(B1)+P(A3)P(B1)+P(A3)P(B2)=0.3×0.1+0.5×0.1+0.5×0.35=0.255,∴该受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性的概率约为0.255.(3)从受访者购买A,B两款饮料的可能性的期望的角度看,记受访者购买A,B两款饮料的可能性分别为X,Y,则X的所有可能取值为20%,60%,90%,则P(X=20%)=0.2,P(X=60%)=0.3,P(X=90%)=0.5,∴X的分布列为X20%60%90%P0.20.30.5同理可得Y的分布列为Y20%60%90%P0.10.350.55∴E(X)=20%×0.2+60%×0.3+90%×0.5=0.67,E(Y)=20%×0.1+60%×0.35+90%×0.55=0.725,∵E(X)<E(Y),故新品推介应该主推B款饮料.\n5.(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1,“甲队以3∶1胜利”为事件A2,“甲队以3∶2胜利”为事件A3.由题意,各局比赛结果相互独立,故P(A1)=(23)3=827,P(A2)=C32×(23)2×(1-23)×23=827,P(A3)=C42×(23)2×(1-23)2×12=427.所以甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率分别为827,827,427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4,由题意,各局比赛结果相互独立,则P(A4)=C42×(1-23)2×(23)2×(1-12)=427.由题意知,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.根据事件的互斥性得,P(X=0)=P(A1)+P(A2)=1627,P(X=1)=P(A3)=427,P(X=2)=P(A4)=427,P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=19.所以X的分布列为X0123P162742742719E(X)=0×1627+1×427+2×427+3×19=79.6.(1)略
