第33练 直线与圆锥曲线问题题型一 直线和椭圆的位置关系例1 如图所示，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，x轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.(1)求C1，C2的方程；(2)求证：MA⊥MB；(3)记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若＝λ，求λ的取值范围．破题切入点 (1)利用待定系数法求解曲线C1，C2的方程．(2)设出直线AB和曲线C2联立，利用坐标形式的向量证明．(3)将S1和S2分别表示出来，利用基本不等式求最值．(1)解 由题意，知＝，所以a2＝2b2.又2＝2b，得b＝1.所以曲线C2的方程：y＝x2－1，椭圆C1的方程：＋y2＝1.(2)证明 设直线AB：y＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知M(0，－1)．则⇒x2－kx－1＝0，·＝(x1，y1＋1)·(x2，y2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－(1＋k2)＋k2＋1＝0，所以MA⊥MB.(3)解 设直线MA的方程：y＝k1x－1，直线MB的方程：y＝k2x－1，由(2)知k1k2＝－1，M(0，－1)，由解得或所以A(k1，k－1)．同理，可得B(k2，k－1)．故S1＝MA·MB＝·|k1||k2|.由解得或-9-\n所以D(，)．同理，可得E(，)．故S2＝MD·ME＝·，＝λ＝＝≥，则λ的取值范围是[，＋∞)．题型二 直线和双曲线的位置关系例2 已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．破题切入点 (1)联立方程组，利用Δ>0求出k的取值范围．(2)联立方程用根与系数的关系求解．解 (1)双曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组有两个不同的实数根，整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.∴解得－<k<且k≠±1.双曲线C与直线l有两个不同的交点时，k的取值范围是(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．(2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l与y轴交于点D(0，－1)，由(1)知，C与l联立的方程为(1－k2)x2＋2kx－2＝0.∴当A，B在双曲线的一支上且|x1|>|x2|时，S△OAB＝S△OAD－S△OBD＝(|x1|－|x2|)＝|x1－x2|；当A，B在双曲线的两支上且x1>x2时，S△OAB＝S△ODA＋S△OBD＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|.∴S△OAB＝|x1－x2|＝，∴(x1－x2)2＝(2)2，即()2＋＝8，解得k＝0或k＝±.又∵－<k<，且k≠±1，-9-\n∴当k＝0或k＝±时，△AOB的面积为.题型三 直线和抛物线的位置关系例3 已知双曲线M：－＝1(a>0，b>0)的上焦点为F，上顶点为A，B为虚轴的端点，离心率e＝，且S△ABF＝1－.抛物线N的顶点在坐标原点，焦点为F.(1)求双曲线M和抛物线N的方程；(2)设动直线l与抛物线N相切于点P，与抛物线的准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点？如果是，试求出该点的坐标，如果不是，请说明理由．破题切入点 (1)根据双曲线的性质，用a，c表示已知条件，建立方程组即可求解双曲线的方程，然后根据抛物线的焦点求出抛物线的方程．(2)设出点P的坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，并求出点Q的坐标，然后根据圆的性质列出关于点P的坐标的方程，将问题转化为方程恒成立的问题来解决．解 (1)在双曲线中，c＝，由e＝，得＝，解得a＝b，故c＝2b.所以S△ABF＝(c－a)×b＝(2b－b)×b＝1－，解得b＝1.所以a＝，c＝2，其上焦点为F(0,2)．所以双曲线M的方程为－x2＝1，抛物线N的方程为x2＝8y.(2)由(1)知抛物线N的方程为y＝x2，故y′＝x，抛物线的准线为y＝－2.设P(x0，y0)，则x0≠0，y0＝x，且直线l的方程为y－x＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.由得所以Q(，－2)．假设存在点R(0，y1)，使得以PQ为直径的圆恒过该点，也就是·＝0对于满足y0＝x(x0≠0)的x0，y0恒成立．由于＝(x0，y0－y1)，＝(，－2－y1)，-9-\n由·＝0，得x0·＋(y0－y1)(－2－y1)＝0，整理得－2y0－y0y1＋2y1＋y＝0，即(y＋2y1－8)＋(2－y1)y0＝0，(*)由于(*)式对满足y0＝x(x0≠0)的x0，y0恒成立，所以解得y1＝2.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点，定点坐标为(0,2)．总结提高 直线和圆锥曲线的位置关系问题，万变不离其宗，构建属于自己的解题模板，形成一定的解题思路，利用数形结合思想来加以解决．1.设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l过F且与抛物线C交于M，N两点，已知当直线l与x轴垂直时，△OMN的面积为2(O为坐标原点)．(1)求抛物线C的方程；(2)是否存在直线l，使得以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y轴上，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)当直线l与x轴垂直时，则|MN|＝2p，∴S△OMN＝·2p·＝＝2，即p＝2.∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)∵直线l与x轴垂直时，不满足．设正方形的第三个顶点为P.故可设直线l：y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(0，y0)，联立可化简得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则代入直线l可得MN的中点为(，)，则线段MN的垂直平分线为y－＝－(x－1－)，故P(0，＋)．又·＝0，则x1x2＋(y1－y0)(y2－y0)＝0.即x1x2＋y1y2－y0(y1＋y2)＋y＝0.1－4－y0·＋y＝0，化解得ky－4y0－3k＝0，-9-\n由y0＝＋代入上式，化简得(3k4－4)(k2＋1)＝0.解得k＝±.∴存在直线l：y＝±(x－1)．2．(2022·广东)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：x－y－2＝0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求AF·BF的最小值．解 (1)依题意知＝，c>0，解得c＝1.所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)由y＝x2得y′＝x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，所以切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝x－＋y1，即x1x－2y－2y1＝0.同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0，又点P(x0，y0)在切线PA和PB上，所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x－2y0－2y＝0的两组解，所以直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0.(3)由抛物线定义知AF＝y1＋1，BF＝y2＋1，所以AF·BF＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1，联立方程消去x整理得y2＋(2y0－x)y＋y＝0，∴y1＋y2＝x－2y0，y1y2＝y，∴AF·BF＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝y＋x－2y0＋1＝y＋(y0＋2)2－2y0＋1＝2y＋2y0＋5＝22＋，∴当y0＝－时，AF·BF取得最小值，且最小值为.3．(2022·浙江)-9-\n如图，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．解 (1)由题意得所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝，所以AB＝2＝2.又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.由消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故x0＝－.所以PD＝.设△ABD的面积为S，则S＝·AB·PD＝，所以S＝≤＝，当且仅当k＝±时取等号．-9-\n所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.4．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线x－y＋＝0相切．(1)求双曲线E的方程；(2)已知点F为双曲线E的左焦点，试问在x轴上是否存在一定点M，过点M任意作一条直线交双曲线E于P，Q两点(P在Q点左侧)，使·为定值？若存在，求出此定值和所有的定点M的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意知＝a，∴a＝.又∵2c＝4，∴c＝2，∴b＝＝1.∴双曲线E的方程为－y2＝1.(2)当直线为y＝0时，则P(－，0)，Q(，0)，F(－2,0)，∴·＝(－＋2,0)·(＋2,0)＝1.当直线不为y＝0时，可设l：x＝ty＋m(t≠±)代入E：－y2＝1，整理得(t2－3)y2＋2mty＋m2－3＝0(t≠±)．(*)由Δ>0得m2＋t2>3.设方程(*)的两个根为y1，y2，满足y1＋y2＝－，y1y2＝，∴·＝(ty1＋m＋2，y1)·(ty2＋m＋2，y2)＝(t2＋1)y1y2＋t(m＋2)(y1＋y2)＋(m＋2)2＝.当且仅当2m2＋12m＋15＝3时，·为定值，解得m1＝－3－，m2＝－3＋(舍去)．综上，过定点M(－3－，0)任意作一条直线交双曲线E于P，Q两点，使·＝1为定值．5．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且AB＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．-9-\n解 (1)直线AB的方程是y＝2(x－)，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.由抛物线定义得AB＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由p＝4，知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)．设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1，4λ－2)，又y＝8x3，所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.6．(2022·辽宁)圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)．双曲线C1：－＝1过点P且离心率为.(1)求C1的方程；(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．解 (1)设切点P的坐标为(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则切线斜率为－，切线方程为y－y0＝－(x－x0)，即x0x＋y0y＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S＝··＝.由x＋y＝4≥2x0y0知当且仅当x0＝y0＝时，x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为(，)．由题意知解得故C1的方程为x2－＝1.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(－，0)，(，0)，由此设C2的方程为＋＝1，其中b1>0.由P(，)在C2上，得＋＝1，解得b＝3，因此C2的方程为＋＝1.-9-\n显然，l不是直线y＝0.设l的方程为x＝my＋，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(m2＋2)y2＋2my－3＝0，又设y1，y2是方程的根，因此由x1＝my1＋，x2＝my2＋，得因为＝(－x1，－y1)，＝(－x2，－y2)，由题意知·＝0，所以x1x2－(x1＋x2)＋y1y2－(y1＋y2)＋4＝0，⑤将①②③④代入⑤整理得2m2－2m＋4－11＝0，解得m＝－1或m＝－＋1.因此直线l的方程为x－(－1)y－＝0或x＋(－1)y－＝0.-9-
