第31练 双曲线的渐近线和离心率题型一 双曲线的渐近线问题例1 (2022·课标全国Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为________．破题切入点 根据双曲线的离心率求出a和b的比例关系，进而求出渐近线．答案 y＝±x解析 由e＝＝知，a＝2k，c＝k，k∈(0，＋∞)，由b2＝c2－a2＝k2，知b＝k.所以＝.即渐近线方程为y＝±x.题型二 双曲线的离心率问题例2 已知O为坐标原点，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以OF为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点A，B，若(＋)·＝0，则双曲线的离心率e为________．破题切入点 数形结合，画出合适图形，找出a，b间的关系．答案 解析 如图，设OF的中点为T，由(＋)·＝0可知AT⊥OF，又A在以OF为直径的圆上，∴A，又A在直线y＝x上，∴a＝b，∴e＝.题型三 双曲线的渐近线与离心率综合问题例3 已知A(1,2)，B(－1,2)，动点P满足⊥.若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．破题切入点 先由直接法确定点P的轨迹(为一个圆)，再由渐近线与该轨迹无公共点得到不等关系，进一步列出关于离心率e的不等式进行求解．答案 (1,2)-8-\n解析 设P(x，y)，由题设条件，得动点P的轨迹为(x－1)(x＋1)＋(y－2)·(y－2)＝0，即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．又双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，由题意，可得>1，即>1，所以e＝<2，又e>1，故1<e<2.总结提高 (1)求解双曲线的离心率的关键是找出双曲线中a，c的关系，a，c关系的建立方法直接反映了试题的难易程度，最后在求得e之后注意e>1的条件，常用到数形结合．(2)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法．由y＝±x⇔±＝0⇔－＝0，所以可以把标准方程－＝1(a>0，b>0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程．双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个数据，由于＝＝，当e逐渐增大时，的值就逐渐增大，双曲线的“张口”就逐渐增大．1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)以及双曲线－＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线－＝1的离心率为________．答案 2或解析 由题意，可知双曲线－＝1的渐近线的倾斜角为30°或60°，则＝或.则e＝＝＝＝＝或2.2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为________．答案 解析 取双曲线的渐近线y＝x，则过F2与渐近线垂直的直线方程为y＝－(x－c)，可解得点H的坐标为，则F2H的中点M的坐标为，代入双曲线方程－-8-\n＝1可得－＝1，整理得c2＝2a2，即可得e＝＝.3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为________．答案 －＝1解析 ∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为C(3,0)．又渐近线方程与圆C相切，即直线bx－ay＝0与圆C相切，∴＝2，∴5b2＝4a2.①又∵－＝1的右焦点F2(，0)为圆心C(3,0)，∴a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为－＝1.4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若双曲线上存在点P使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是________．答案 (1，＋1)解析 根据正弦定理得＝，由＝，可得＝，即＝＝e，所以PF1＝ePF2.因为e>1，所以PF1>PF2，点P在双曲线的右支上．又PF1－PF2＝ePF2－PF2＝PF2(e－1)＝2a，解得PF2＝.因为PF2>c－a(不等式两边不能取等号，否则题中的分式中的分母为0，无意义)，所以>c－a，即>e－1，即(e－1)2<2，解得e<＋1.又e>1，所以e∈(1，＋1)．5．(2022·湖北)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝-8-\n，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为________．答案 解析 设PF1＝r1，PF2＝r2(r1>r2)，F1F2＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，由(2c)2＝r＋r－2r1r2cos，得4c2＝r＋r－r1r2.由得所以＋＝＝.令m＝＝＝＝，当＝时，mmax＝，所以()max＝，即＋的最大值为.6．(2022·山东改编)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为________．答案 x±y＝0解析 由题意知e1＝，e2＝，∴e1·e2＝·＝＝.又∵a2＝b2＋c，c＝a2＋b2，∴c＝a2－b2，∴＝＝1－()4，即1－()4＝，解得＝±，∴＝.令－＝0，解得bx±ay＝0，-8-\n∴x±y＝0.7．若椭圆＋＝1(a>b>0)与双曲线－＝1的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围为________．答案 (0,1)解析 可知e＝＝1－，e＝＝1＋，所以e＋e＝2>2e1e1⇒0<e1e2<1.8．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线的右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________．答案 解析 设双曲线的右焦点为F′，由于E为PF的中点，坐标原点O为FF′的中点，所以EO∥PF′，又EO⊥PF，所以PF′⊥PF，且PF′＝2×＝a，故PF＝3a，根据勾股定理得FF′＝a.所以双曲线的离心率为＝.9．(2022·浙江)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足PA＝PB，则该双曲线的离心率是________．答案 解析 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.由得A(，)，由得B(，)，所以AB的中点C坐标为(，)．设直线l：x－3y＋m＝0(m≠0)，因为PA＝PB，所以PC⊥l，所以kPC＝－3，化简得a2＝4b2.在双曲线中，c2＝a2＋b2＝5b2，所以e＝＝.10．(2022·湖南)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若PF1＋PF2＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________．答案 解析 不妨设PF1>PF2，-8-\n则PF1－PF2＝2a，又∵PF1＋PF2＝6a，∴PF1＝4a，PF2＝2a.又在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，由正弦定理得，∠PF2F1＝90°，∴F1F2＝2a，∴双曲线C的离心率e＝＝.11．P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．解 (1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线－＝1上，有－＝1.由题意有·＝，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，则e＝＝.(2)联立得4x2－10cx＋35b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则①设＝(x3，y3)，＝λ＋，即又C为双曲线上一点，即x－5y＝5b2，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.化简得λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2.又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2.由(1)可知c2＝6b2，由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2.得λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.12．(2022·江西)如图，已知双曲线C：-8-\n－y2＝1(a>0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．解 (1)设F(c,0)，直线OB方程为y＝－x，直线BF的方程为y＝(x－c)，解得B(，－)．又直线OA的方程为y＝x，则A(c，)，kAB＝＝.又因为AB⊥OB，所以·(－)＝－1，解得a2＝3，故双曲线C的方程为－y2＝1.(2)由(1)知a＝，则直线l的方程为－y0y＝1(y0≠0)，即y＝.因为c＝＝2，所以直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M(2，)；直线l与直线x＝的交点为N(，)．则＝＝＝·.-8-\n因为P(x0，y0)是C上一点，则－y＝1，代入上式得＝·＝·＝，即＝＝为定值．-8-
