第28练 直线和圆的位置关系题型一 直线和圆的位置关系的判断问题例1 已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则l与C的位置关系为________．破题切入点 由于不知道直线l的方程，于是需要求P点与圆C的位置关系．答案 相交解析 将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P(3,0)在圆内．∴过点P的直线l一定与圆C相交．题型二 弦长问题例2 若圆上一点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，则圆的方程是__________________．破题切入点 将已知条件转化为直线x＋2y＝0过圆心，弦长可通过几何法表示．答案 (x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244解析 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x＋2y＝0上，即有a＋2b＝0，又(2－a)2＋(3－b)2＝r2，而圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，故r2－2＝2，依据上述方程，解得或所以，所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.题型三 直线和圆的综合性问题例3 如图所示，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当＝2时，求直线l的方程；(3)B·B是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．破题切入点 (1)由圆A与直线l1相切易求出圆的半径，进而求出圆A的方程．(2)注意直线l的斜率不存在时也符合题意，以防漏解，另外应注意利用几何法，以减小计算量．(3)分两种情况分别计算平面向量的数量积为定值后方可下结论．解 (1)设圆A的半径为R.∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，-6-\n∴R＝＝2.∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连结AQ，则AQ⊥MN.∵＝2，∴|AQ|＝＝1.由＝＝1，得k＝.∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0.∴所求直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.(3)∵AQ⊥BP，∴A·B＝0.∴B·B＝(B＋A)·B＝B·B＋A·B＝B·B.当直线l与x轴垂直时，得P.则B＝，又B＝(1,2)，∴B·B＝B·B＝－5.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．由解得P.∴B＝.∴B·B＝B·B＝－＝－5.综上所述，B·B是定值，且B·B＝－5.总结提高 (1)直线和圆的位置关系一般有两种判断方法：一是将直线和圆的方程联立，利用判别式的符号求解根的个数，即为直线和圆的交点个数；二是将圆心到直线的距离d和半径r相比较，当d>r时相离，d＝r时相切，d<r时相交．(2)求圆的弦长的方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，利用两点间的距离公式求得；二是不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，联立直线与圆的方程消去y后得到方程两根为x1，x2，则弦长d＝|x1－x2|；三是利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法较为简单．1．直线(1＋3m)x＋(3－2m)y＋8m－12＝0(m∈R)与圆x2＋y2－2x－6y＋1＝0的交点个数为________．答案 2解析 将含参直线方程分离变量可得m(3x－2y＋8)＋x＋3y－12＝0，-6-\n不论m取何值，直线恒过两直线的交点A(0,4)，又易知定点A在圆内，故直线必与圆恒相交．2．(2022·浙江改编)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值为________．答案 －4解析 由圆的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r＝.圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝＝.由r2＝d2＋()2，得2－a＝2＋4，所以a＝－4.3．(2022·北京改编)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为________．答案 6解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m.因为∠APB＝90°，连结OP，易知|OP|＝|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.4．(2022·福建改编)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的________条件．答案 充分不必要解析 将直线l的方程化为一般式得kx－y＋1＝0，所以圆O：x2＋y2＝1的圆心到该直线的距离d＝.又弦长为2＝，所以S△OAB＝··＝＝，解得k＝±1.因此可知“k＝1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．5．直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度为________．答案 2解析 ∵圆心到直线x＋y－2＝0的距离-6-\nd＝＝1，半径r＝2，∴弦长|AB|＝2＝2＝2.6．“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(x－b)2＝2相切”的________条件．答案 充分不必要解析 根据已知得直线与圆相切的充要条件为：＝⇒|a－b＋2|＝2⇔a＝b或a－b＝－4，故“a＝b”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．7．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圆C1与圆C2相外切，则实数m＝________.答案 －5或2解析 对于圆C1与圆C2的方程，配方得圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，则C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2.如果圆C1与圆C2相外切，那么有C1C2＝r1＋r2，即＝5，则m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2，所以当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2相外切．8．已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为______________．答案 x2＋2＝解析 ∵圆C关于y轴对称，∴圆C的圆心在y轴上，可设C(0，b)，设圆C的半径为r，则圆C的方程为x2＋(y－b)2＝r2.依题意，得解得∴圆C的方程为x2＋2＝.9．(2022·江苏)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．答案 解析 圆心为(2，－1)，半径r＝2.圆心到直线的距离d＝＝，所以弦长为2＝2＝.10．(2022·山东)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为________________．答案 (x－2)2＋(y－1)2＝4解析 设圆C的圆心为(a，b)(b>0)，由题意得a＝2b>0，且a2＝()2＋b2，-6-\n解得a＝2，b＝1.所以，所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.11．已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．解 (1)圆心C(1,2)，半径为r＝2，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3.由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由题意知＝2，解得k＝.所以直线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上所述，过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.(2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝.(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为，∴()2＋()2＝4，解得a＝－.12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B.(1)求k的取值范围；(2)是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在求k的值；如果不存在，请说明理由．解 方法一 (1)圆的方程可写成(x－6)2＋y2＝4，所以圆心为Q(6,0)．过P(0,2)且斜率为k的直线方程为y＝kx＋2，代入圆的方程得x2＋(kx＋2)2－12x＋32＝0，整理得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A，B等价于Δ＝[4(k－3)]2－4×36(1＋k2)＝42(－8k2－6k)>0，-6-\n解得－<k<0，即k的取值范围为(－，0)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①得，x1＋x2＝－.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4.③而P(0,2)，Q(6,0)，＝(6，－2)．所以＋与共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，将②③代入上式，解得k＝－.由(1)知k∈(－，0)，故不存在符合题意的常数k.方法二 (1)∵Q(6,0)，直线AB的方程：y＝kx＋2，∴Q到AB的距离d＝<2(圆半径r＝2)，∴k∈(－，0)．(2)∵＋＝2(C为AB中点)，∴∥.而＝(6，－2)，过Q与AB垂直的直线为y＝－(x－6)，∴解得C(，)，即＝(，)．∴＝－，k＝－∉(－，0)，故不存在符合题意的常数k.-6-
