第26练 立体几何中的计算问题题型一 立体几何中的表面积、体积计算例1 已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则三棱锥S—ABC的体积为________．破题切入点 作出图形，可知三棱锥S－ABC的体积是两个三棱锥之和，通过三角形的边角关系，计算可得所求．答案 解析 如图，过A作AD垂直SC于D，连结BD.由于SC是球的直径，所以∠SAC＝∠SBC＝90°，又∠ASC＝∠BSC＝30°，又SC为公共边，所以△SAC≌△SBC.由于AD⊥SC，所以BD⊥SC.由此得SC⊥平面ABD.所以VS—ABC＝VS—ABD＋VC—ABD＝S△ABD·SC.由于在Rt△SAC中，∠ASC＝30°，SC＝4，所以AC＝2，SA＝2，由于AD＝＝.同理在Rt△BSC中也有BD＝＝.又AB＝，所以△ABD为正三角形，所以VS—ABC＝S△ABD·SC＝××()2·sin60°×4＝.题型二 立体几何中的长度、距离的计算例2 已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．破题切入点 作出图形，关键是找到球心的位置．答案 -7-\n解析 如图，作PM⊥面ABC，设PA＝a，则AB＝a，CM＝a，PM＝a.设球的半径为R，所以2＋2＝R2，将R＝代入上式，解得a＝2，所以d＝－＝.总结提高 (1)立体几何中有关表面积体积的计算首先要熟悉几何体的特征，其次运用好公式，作好辅助线等．(2)立体几何中有关长度和距离的求解要准确灵活转化，计算距离时要注意垂直距离如何找到，有时利用等体积的方法．1．(2022·大纲全国改编)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________．答案 解析 如图，设球心为O，半径为r，则Rt△AOF中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝，所以，该球的表面积为4πr2＝4π×()2＝π.2．(2022·福建改编)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为________．答案 2π解析 以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r＝1，高h＝1，所以侧面积S＝2πrh＝2π.3．(2022·辽宁改编)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为________．答案 解析 因为AB⊥AC，且AA1⊥底面ABC，将直三棱柱补成内接于球的长方体，则长方体的对角线l＝＝2R，R＝.-7-\n4.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．答案 π解析 侧面展开图扇形的半径为2，圆锥底面半径为1，∴h＝＝，∴V＝π×1×＝π.5.如图，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为________．答案 平行解析 取PD的中点F，连结EF，在△PCD中，EF綊CD.又∵AB∥CD且CD＝2AB，∴EF綊AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EB∥AF.又∵EB⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.6．已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和球O2的表面积之和的最小值为________．答案 (6－3)π解析 设球O1，O2的半径分别为r1，r2，由题意知O1A＋O1O2＋O2C1＝，而O1A＝r1，O1O2＝r1＋r2，O2C1＝r2，∵r1＋r1＋r2＋r2＝.∴r1＋r2＝，从而S1＋S2＝4πr＋4πr＝4π(r＋r)≥4π·＝(6－3)π.-7-\n7.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度为______．答案 解析 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2.又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC的中点，∴EF＝AC＝.8．(2022·江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．答案 解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由＝，得＝，则＝.由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，所以＝＝＝.9．已知三棱锥A—BCD的所有棱长都为，则该三棱锥的外接球的表面积为________．答案 3π解析 如图，构造正方体ANDM—FBEC.因为三棱锥A—BCD的所有棱长都为，所以正方体ANDM—FBEC的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为.易知三棱锥A—BCD的外接球就是正方体ANDM—FBEC的外接球，所以三棱锥A—BCD的外接球的半径为.所以三棱锥A—BCD的外接球的表面积为S球＝4π2＝3π.10.(2022·安徽)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．-7-\n①当0<CQ<时，S为四边形；②当CQ＝时，S为等腰梯形；③当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足C1R＝；④当<CQ<1时，S为六边形；⑤当CQ＝1时，S的面积为.答案 ①②③⑤解析 ①当0<CQ<时，如图(1)．在平面AA1D1D内，作AE∥PQ，显然E在棱DD1上，连结EQ，则S是四边形APQE.②当CQ＝时，如图(2)．显然PQ∥BC1∥AD1，连结D1Q，则S是等腰梯形．③当CQ＝时，如图(3)．作BF∥PQ交CC1的延长线于点F，则C1F＝.作AE∥BF，交DD1的延长线于点E，D1E＝，AE∥PQ，连结EQ交C1D1于点R，∵Rt△RC1Q∽Rt△RD1E，∴C1Q∶D1E＝C1R∶RD1＝1∶2，∴C1R＝.-7-\n④当<CQ<1时，如图(3)，连结RM(点M为AE与A1D1交点)，显然S为五边形APQRM.⑤当CQ＝1时，如图(4)．同③可作AE∥PQ交DD1的延长线于点E，交A1D1于点M，显然点M为A1D1的中点，∴S为菱形APQM，其面积为MP×AQ＝××＝.11．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱．(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？解 (1)作圆锥的轴截面，如图所示．设内接圆柱的半径为r.因为＝，所以r＝R－x，所以S圆柱侧＝2πrx＝2πRx－x2(0<x<H)．(2)因为－<0，所以当x＝＝时，S圆柱侧最大．故当x＝，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．-7-\n12．(2022·北京)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E－ABC的体积．(1)证明 在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1，又因为AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明 取AB的中点G，连结EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.(3)解 因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝＝.所以三棱锥E－ABC的体积V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.-7-
