第6练 处理好“线性规划问题”的规划题型一 不等式组所确定的区域问题例1 已知点M(x，y)的坐标满足不等式组则此不等式组确定的平面区域的面积S的大小是________．破题切入点 先画出点M(x，y)的坐标满足的可行域，再研究图形的形状特征，以便求出其面积．答案 1解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，则此平面区域为△ABC及其内部，且点A(2,0)，B(0,1)，C(2,1)，于是，S＝×2×1＝1.题型二 求解目标函数在可行域中的最值问题例2 若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值与最小值的和为________．破题切入点 先根据已知约束条件画出可行域，再利用目标函数z＝2x＋y的几何意义，即可求得最大值与最小值．答案 6解析 画出可行域，如图所示，由图象，可得当y＝－2x＋z经过点B(2,0)时，zmax＝4；当y＝－2x＋z经过点A(1,0)时，zmin＝2.故填6.题型三 利用线性规划求解实际应用题例3 某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900人旅行，A，B两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为________元．破题切入点 设租用A，B两种型号的客车分别为x辆，y辆，总租金为z元，可得目标函数z＝1600x＋2400y.结合题意，建立关于x，y的不等式组，计算A，B型号客车的人均租金，可得租用B型车的成本比A型车低，因此在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低．答案 36800-7-\n解析 设租用A，B两种型号的客车分别为x辆，y辆，所用的总租金为z元，则z＝1600x＋2400y，其中x，y满足不等式组(x，y∈N)画出可行域，可知在x＝5，y＝12时，可载客36×5＋60×12＝900(人)，符合要求且此时的总租金z＝1600×5＋2400×12＝36800，达到最小值．题型四 简单线性规划与其他知识的综合性问题例4 设变量x，y满足约束条件则lg(y＋1)－lgx的取值范围为________．破题切入点 先画出不等式组所确定的可行域，将目标函数化为lg，利用数形结合的方法解t＝的最值，然后确定目标函数的最值，从而求其范围．答案 [0,1－2lg2]解析 如图所示，作出不等式组确定的可行域．因为lg(y＋1)－lgx＝lg，设t＝，显然，t的几何意义是可行域内的点P(x，y)与定点E(0，－1)连线的斜率．由图，可知点P在点B处时，t取得最小值；点P在点C处时，t取得最大值．由解得即B(3,2)；由解得即C(2,4)．故t的最小值为kBE＝＝1，t的最大值为kCE＝＝，所以t∈[1，]．又函数y＝lgx为(0，＋∞)上的增函数，所以lgt∈[0，lg]，即lg(y＋1)－lgx的取值范围为[0，lg]．而lg＝lg5－lg2＝1－2lg2，所以lg(y＋1)－lgx的取值范围为[0,1－2lg2]．-7-\n总结提高 (1)准确作出不等式组所确定的平面区域是解决线性规划问题的基础．(2)求解线性目标函数的最大值或最小值时，一般思路是先作出目标函数对应的过原点的直线y＝kx，再平移此直线．(3)求解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出线性约束条件；③建立目标函数；④求出最优解；⑤转化为实际问题．1．实数x，y满足则不等式组所围成图形的面积为________．答案 1解析 实数x，y满足它表示的可行域如图所示．不等式组所围成的图形是三角形，其三个顶点的坐标分别为(1,0)，(0,1)，(2,1)，所以所围成图形的面积为×2×1＝1.2．已知O是坐标原点，点A(－1，1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是________．答案 [0,2]解析 作出可行域，如图所示，由题意·＝－x＋y.设z＝－x＋y，作l0：x－y＝0，易知，过点(1,1)时z有最小值，zmin＝－1＋1＝0；过点(0,2)时z有最大值，zmax＝0＋2＝2，∴·的取值范围是[0,2]．3．若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝________.答案 6-7-\n解析 画出可行域，如图阴影部分所示．由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z.由得∴A(－1，－1)．由得∴B(2，－1)．当直线y＝－2x＋z经过点A时，zmin＝2×(－1)－1＝－3＝n.当直线y＝－2x＋z经过点B时，zmax＝2×2－1＝3＝m，故m－n＝6.4．设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为________．答案 (1,1＋)解析 变形目标函数为y＝－x＋，由于m>1，所以－1<－<0，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．根据目标函数的几何意义，只有直线y＝－x＋在y轴上的截距最大时，目标函数取得最大值．显然在点A处取得最大值，由得交点A，所以目标函数的最大值是＋<2，即m2－2m－1<0，解得1－<m<1＋，故m的取值范围是(1,1＋)．5．若P是满足不等式组表示的平面区域内的任意一点，点P到直线3x＋4y－12＝0的距离为d，则d的取值范围是________．答案 [1，)解析 作出可行域为△AOB(但不包括OB上的点)及直线3x＋4y－12＝0，如图所示．结合图形，可知点A(1,1)到直线3x＋4y－12＝0的距离最小，-7-\n最小值dmin＝＝1；原点O(0,0)到直线3x＋4y－12＝0的距离最大，最大值dmax＝＝.又y>0，所以d∈[1，)．6．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是________．答案 (－∞，－)解析 问题等价于直线x－2y＝2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点(－m，m)不可能在第一和第三象限，而直线x－2y＝2经过第一、三、四象限，则点(－m，m)只能在第四象限，可得m<0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线x－2y＝2与阴影部分有公共点，则点(－m，m)在直线x－2y－2＝0的下方，故－m－2m－2>0，即m<－.7．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－4y的最大值为________．答案 3解析 如图所示，作出不等式组所表示的可行域，故当直线y＝x－z在x轴上的截距取得最大值时，目标函数取得最大值．由图，可知当y＝x－z经过点C时z取得最大值，由解得即C(5,3)，故目标函数的最大值为z＝3×5－4×3＝3.8．已知不等式组表示的平面区域为Ω，其中k≥0，则当Ω的面积取得最小值时，k的值为________．答案 1-7-\n解析 依题意作图，如图所示，要使平面区域Ω的面积最小，即使S△OAD＋S△OBC最小，又直线x＋y＋2＝0与y轴的交点的坐标为A(0，－2)，直线x＋y＋2＝0与y＝kx的交点的坐标为D(－，－)，直线y＝kx与x＝1的交点的坐标为C(1，k)，k≥0，所以S△OAD＋S△OBC＝|OA|·|xD|＋|OB|·|yC|＝＋·k＝＋＋－＝＋－≥2－＝，当且仅当＝时取等号，即k＝1或k＝－3(舍去)．所以满足条件的k的值为1.9．4件A商品与5件B商品的价格之和不小于20元，而6件A商品与3件B商品的价格之和不大于24，则买3件A商品与9件B商品至少需要________元．答案 22解析 设1件A商品的价格为x元，1件B商品的价格为y元，买3件A商品与9件B商品需要z元，则z＝3x＋9y，其中x，y满足不等式组作出不等式组表示的平面区域，如图所示，其中A(0,4)，B(0,8)，C(，)．当y＝－x＋z经过点C时，目标函数z取得最小值．所以zmin＝3×＋9×＝22.因此当1件A商品的价格为元，1件B商品的价格为元时，可使买3件A商品与9件B商品的费用最少，最少费用为22元．10．设x，y满足约束条件若目标函数z＝abx＋y(a>0，b>0)的最大值为8，则a＋b的最小值为________．答案 4解析 由z＝abx＋y，得y＝－abx＋z，所以直线的斜率为－ab<0，作出可行域，如图，由图象，可知当y＝－abx＋z经过点B时，z取得最大值．由得-7-\n即B(1,4)，代入z＝abx＋y＝8，得ab＋4＝8，即ab＝4，所以a＋b≥2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，所以a＋b的最小值为4.11．给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．答案 6解析 线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故共可确定6条．12．(2022·盐城模拟)已知t是正实数，如果不等式组表示的区域内存在一个半径为1的圆，则t的最小值为________．答案 2＋2解析 画出不等式组表示的平面区域，当t是正实数时，所表示的区域为第一象限的一个等腰直角三角形．依题意，它有一个半径为1的内切圆，不妨设斜边|OB|＝t，则两直角边长|AB|＝|OA|＝t，所以＝1，求得t＝＝2＋2，即tmin＝2＋2.-7-
