【科学备考】（新课标）2022高考数学二轮复习第八章立体几何点、线、面的位置关系理（含2022试题）理数1.(2022大纲全国,11,5分)已知二面角α-l-β为60°,AB⊂α,AB⊥l,A为垂足,CD⊂β,C∈l,∠ACD=135°,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )A. B. C. D. [答案]1.B[解析]1.依题意作图,平移CD至AD',作AE⊥l,且D'E∥l,连结BE,BD',则D'E⊥面BAE,则∠EAB=60°,∠D'AE=45°,设AB=1,AE=1,则BE=1,D'E=1,D'A=.在Rt△BED'中,BD'=.∴cos∠BAD'===,即异面直线AB与CD所成角的余弦值为.故选B.2.(2022广东,7,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定[答案]2.D[解析]2.由l1⊥l2,l2⊥l3可知l1与l3的位置不确定,若l1∥l3,则结合l3⊥l4,得l1⊥l4,所以排除选项B、C,若l1⊥l3,则结合l3⊥l4,知l1与l4可能不垂直,所以排除选项A.故选D.3.(2022辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α[答案]3.B[解析]3.A选项m、n也可以相交或异面,C选项也可以n⊂α,D选项也可以n∥α或n与α斜交.根据线面垂直的性质可知选B.4.（2022重庆一中高三下学期第一次月考，6）已知一个四面体的一条棱长为，其余18\n棱长均为2，则这个四面体的体积为（ ）（A）1 （B） （C） （D）3[答案]4. A[解析]4. 取边长为的边的中点,并与其对棱的两个端点连接,5.(2022山东青岛高三第一次模拟考试,5)设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A．若则 B．若则C．若则 D．若则[答案]5. D[解析]5.A选项不正确，因为是可能的；B选项不正确，因为，时，，都是可能的；C选项不正确，因为，时，可能有；D选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其是正确的．故选D6.(2022安徽合肥高三第二次质量检测，9)已知正方体中，线段上（不包括端点）各有一点，且，下列说法中，不正确的是（ ）四点共面 B.直线与平面所成的角为定值C. D.设二面角的大小为，则的最小值为[答案]6. D[解析]6.正方体中，线段，上（不包含端点）各有一点、，且，如图，当连线与平行时，、、、四点共面，所以错误；18\n直线与平面所成的角为定制，显然不正确，在平面的射影是，点如果是定点，直线与平面所成的角是变值，所以不正确；当点在的中点时，不妨设棱长为2，，所以是钝角，所以不正确，故错误；对于选项，作于，过作于，令，则最小值时最大，此时点在，，所以选项正确.故选D.7.(2022广西桂林中学高三2月月考，4)设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )(A) (B)(C) (D)[答案]7. D[解析]7. 若，则平面与垂直或相交或平行，故（A)错误；18\n若，则直线与相交或平行或异面，故（B)错误；若，则直线与平面垂直或相交或平行，故（C)错误；若，则直线，故（D)正确.选D.8.(2022周宁、政和一中第四次联考，7)设表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若∥，且则； ②若∥，且∥.则∥；③若，则∥∥；④若且∥,则∥.其中正确命题的个数是 （ ）A．1 B．2 C．3 D．4[答案]8. B[解析]8. ①正确；②直线或，错误；③错误，因为正方体有公共端点的三条棱两两垂直；④正确.故真正确的是①④，共2个.9.(2022成都高中毕业班第一次诊断性检测，5)已知，是两条不同的直线，为平面，则下列命题正确的是： (A)若∥，∥，则∥ (B)若⊥，⊥．则⊥ (C)若⊥，∥，则⊥ (D)若与相交，与相交，则，一定不相交（ ）[答案]9. C[解析]9. 对(A)直线、还可能相交或异面；故(A)是假命题；对(B)垂直于同一个平面的两条直线平行，故(B)时假命题；对(C)真命题；对(D)直线、可能相交、平行或异面.故真命题是(C).10.(2022江西七校高三上学期第一次联考,7)已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出⊥的是（ ）A.且 B.且C.且⊥ D.且[答案]10. C[解析]10. 对选项A，与平行或相交；对选项B，与平行或相交；选项C正确；选项D，与平行或相交.故选C.11.(2022兰州高三第一次诊断考试,6)已知是两个不同的平面，，是两条不同的直线，给出下列命题：①若； ②若；③如果相交；18\n④若其中正确的命题是（ ）A．①② B．②③ C．③④ D．①④[答案]11. D[解析]11. ①由平面与平面垂直的判定定理知，是真命题；②当直线，平行时，与不一定平行，是假命题；③直线与平面可能平行，假命题；④真命题.故正确的命题是①④.12.（2022江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，13）如图,正四棱锥中，，是边的中点，动点在四棱锥的表面上运动，且总保持，点的轨迹所围成的图形的面积为,若以的方向为主视方向，则四棱锥的主视图的面积是 .[答案]12. 4[解析]12. 由题意可得点P在过点E且与直线AC垂直的平面上，取线段PC、CD的中点分别为F、G，并设GE与AC交于点H.易得直线AC⊥平面EFG，所以点P的轨迹即为△EFG，因为AB=2，所以GE=，点的轨迹所围成的图形的面积为，所以可得FH=2，根据勾股定理可得GF=，所以四棱锥的侧棱长为.所以四棱锥的主视图是以腰长为底边长为2的等腰三角形，其面积为4.13.（2022吉林实验中学高三年级第一次模拟，15）如图，已知球是棱长为的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为 .18\n[答案]13. [解析]13. 设截面圆的半径为r.球心即为正方体的中心，且球O的半径为.由正方体的性质可知，点O到平面ACD1的距离为，则，解得，所以截面圆的面积为.14.(2022陕西宝鸡高三质量检测(一),7)关于直线及平面，下列命题中正确的是（ ） A.若，，则 B.若，，则 C. 若，，则 D.若，，则 [答案]14. C[解析]14. 对A，直线可能平行、相交或异面；对B，因为直线不一定在平面内，直线可能为异面直线，则B错误；对C，直线与平面垂直，需直线与平面内的两条相交直线垂直，则C正确；对D，同平行于一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，则D错误.15.（2022重庆一中高三下学期第一次月考，19）（原创）如图，在四面体中，平面，，，。是的中点，是的中点，点在线段上，且。(1) 证明:平面；(2) 若异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求的值。18\n[答案]15.查看解析[解析]15. 法一：(1)如图，连并延长交于，连，过作交于，则，。故，从而。因平面，平面，故平面；(2)过作于，作于，连。因平面，故平面平面，故平面，因此，从而平面，所以即为二面角的平面角。因，故，因此即为的角平分线。由⑴易知，故，从而，。由题易知平面，故。由题，故。所以，从而。法二：如图建立空间直角坐标系，18\n则，，，，。 (1)设，则，因此。显然是平面的一个法向量，且，所以平面；(2)由(1)，，，故由得，因此，从而，。设是平面的法向量，则，取得。设是平面的法向量，则，取得。故。16.(2022山西太原高三模拟考试（一），19)如图，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，点O是A1C1的中点，AO⊥平面A1B1C1.已知∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2.（I）求证：AB1⊥AlC；（Ⅱ）求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值.[答案]16.查看解析[解析]16.18\n17.(2022福州高中毕业班质量检测,18)如图，直角梯形中，=4，点、分别是、的中点，点在上，沿将梯形翻折，使平面⊥平面．（Ⅰ）当最小时，求证：⊥；（Ⅱ）当时，求二面角平面角的余弦值.18\n[答案]17.查看解析[解析]17.(Ⅰ)证明：∵点、分别是、的中点,∴，又，∴，∵平面⊥平面，∴平面，，，又，如图建立空间坐标系．翻折前,连结交于点，此时点使得最小.,又∵．则，∴，∴，∴⊥. （5分）(Ⅱ)解法一：设,18\n∥平面,点到平面的距离为即为点到平面的距离.，=，又=,,=,即，（8分）设平面的法向量为,∵G(0,1,0),∴(－2,2,2),则,即取,则,,∴，平面BCG的一个法向量为，则cos<>=，由于所求二面角的平面角为锐角,所以此二面角平面角的余弦值为.（13分）(Ⅱ)解法二:由解法一得,过点D作,垂足,过点作延长线的垂线垂足，18\n连接.∵平面⊥平面,平面，,所以就是所求的二面角的平面角.（9分）由于,在中,又，在中，所以此二面角平面角的余弦值为.（13分）18.(2022河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），19)如图，在三棱锥中，面，，且，为的中点，在上，且.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.18\n[答案]18.查看解析[解析]18.（Ⅰ）不妨设，又，∴在中，，∴，则=，所以,又,∴,且也为等腰三角形.（法一）取中点，连接、，∴，∵面，∴，∴，所以平面，又平面，∴. （6分）（法二），则，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，可得，，,,∴,则，所以.（6分）（Ⅱ）同（Ⅰ）法二建立空间直角坐标系，可知，，面18\n的法向量可取为，（8分）设面的法向量为，，，则，即，可取，∴=，故二面角的余弦值为.（12分）19.(2022山东实验中学高三第一次模拟考试，18)如图，已知正三棱柱各棱长都为,为线段上的动点.(Ⅰ)试确定；(Ⅱ)若的大小；18\n[答案]19.查看解析[解析]19.解：以原点，为轴，过点与垂直的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，则，，，设，(Ⅰ)由得，解得，即为的中点.所以时，.（5分）(Ⅱ)当时，点的坐标为，取，则，，所以是平面的一个法向量，又平面的一个法向量，（8分）所以，所以二面角的大小事. （12分）20.（2022江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，19） 如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，底面是菱形，18\n,点P在底面上的射影为ΔACD的重心，点M为线段上的点．（1）当点M为PB的中点时，求证：PD//平面ACM；（2）当平面CDM与平面CBM夹角的余弦值为时，试确定点M的位置．[答案]20.查看解析[解析]20. （1）设AC、BD的交点为I，连结MI， 因为I、M分别为BD、BP的中点，所以PD//MI，又MI在平面ACM内，所以PD//平面ACM； …………4分（2）设CD的中点为O，分别以OA、OC为x轴、y轴，过O点垂直平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，则,，，，， ………………6分设，则,，18\n设平面CBM的法向量为，则且，令则 ………………………10分所以21.(2022湖北武汉高三2月调研测试，)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．（Ⅰ）求直线B1C1与平面A1BC1所成角的正弦值；（Ⅱ）在线段BC1上确定一点D，使得AD⊥A1B，并求的值．[答案]21.查看解析[解析]21.解：（Ⅰ）∵AA1C1C为正方形，∴AA1⊥AC．∵平面ABC⊥平面AA1C1C，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AC，AA1⊥AB．18\n由已知AB＝3，BC＝5，AC＝4，∴AB⊥AC．如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，则B(0，3，0)，A1(0，0，4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4)，18
